等差数列(教师).doc

都江堰校区(数学)辅导讲义任课教师:岳老师Tel:028-87275088课题数列版块——等差数列一、数列的常用递推关系对于任何数列的前项和,则有时,则常使用与的关系得到递推式:【强调】在求解时,若直接写成的形式,则是错误的。因为是无意义的,故在前面必须要有这个条件,再验证时,是否满足所求的。【例1】已知下列数列的前项和,分别求它们的通项公式。(1)(2)【解】(1)当时,当时,当时,,故(2)当时,当时,当时,,故【例2】数列中,,求通项。【解】由,则当时,,两式左右相减,得则当时,满足上式,故【例3】已知数列的首项为1,且,求数列的通项公式。【解】由,即,则当时,,,,将个等式累加,得,即当时,,故【例4】已知数列,,以后各项由给出。(1)写出数列的的前5项;(2)求数列的通项公式。【解】(1),,;;(2)当时,由,得则当时,,故【小结】(1)递推公式形如或求通项,使用“累加法”方法如下:由得:当时,,,,,将个式子相加得即:再验证时,是否满足上式。(2)列项求和常用公式:①;②③④;【例4】设是首项为的正项数列,且,则【解】,则,故【例5】已知数列中,,前项和。(1)求,;(2)求的通项公式。【解】(1)由与,得(2)当时,①②①-②可得,即:故有而,所以的通项公式为【小结】递推公式形如或求通项,使用累乘法。(必要时,需要书写首尾各3—4各等式找规律)二、等差数列(一)等差数列的概念(1)表示形式:,,()(2)等差中项:如果三个数成等差数列,(二)通项公式:=+(三)前项和公式:=(推导方法为:倒序相加法)(四)函数的观点认识等差数列(1)是关于项数的一次函数(一般情况下)(2)是关于项数的二次函数且缺常数项(一般情况下)(五)等差数列的判定方法(1)定义法:(常数)是等差数列(2)中项公式法:是等差数列(3)通项公式法:(为常数)是等差数列(4)前项和公式法:(为常数)是等差数列(六)常用性质(1)若数列,为等差数列,则数列,,,(为非零常数)均为等差数列;(2)对任何,在等差数列中,有,特别的,当时,便得到等差数列的通项公式。另外可得公差(3)若,则=.特别的,当时,得(4)若是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即。(5)在等差数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等差数列,且公差为(例如:,,,仍为公差为的等差数列)(6)如果是等差数列,公差为,那么,,,也是等差数列,其公差为(7)若数列为等差数列,则记,,,则,,仍成等差数列(8)若为等差数列的前项和,则数列也为等差数列(9)记等差数列的前项和为:①若,公差,则当时,则有最大值;②若,公差,则当时,则有最小值。求最值的方法也可先求出,再用配方法求解。【例6】(1)等差数列中,,,则(2)等差数列中,,,则(3)已知等差数列中,与的等差中项为,的等差中项为,则(4)已知等差数列中,,,则【解】(4)设首项为,公差为,则,解得故【小结】熟用,问题【例7】(1)等差数列中,若,则180(2)等差数列中,若,则1125(3)等差数列中,若,则(4)等差数列中,若,则210(5)等差数列中,若,则60(6)等差数列中,,则180【小结】熟练掌握性质的应用【例8】(1)等差数列中,,则的最大值为(2)等差数列中,,则的最小值(3)等差数列中,,当最大时,6或7(4)等差数列中,若,公差,当为最大值的自然数值为5或6【解】(1),则;(2),则(3),则,故,则(4)由,显然,则,故,则【例9】(1)等差数列中,,则24(2)等差数列中,,则12(3)等差数列中,,则5【解】(1),则(2)(3)【小结】利用性质:也成等差数列【例10】已知数列的通项公式为且为常数(1)当和满足什么条件时,数列是等差数列?(2)证明:对任意实数和,数列是等差数列。【解】(1)欲使是等差数列,则应是一个与无关的常数。则只有,即(2),则为一个常数,即是等差数列【例11】已知数列满足,,令。(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式。【解】(1),则数列是首项为,公差为的等差数列(2)由(1)知,又则【例12】已知数列的前项和为,且满足,。(1)求证:是等差数列;(2)求数列的通项公式。【解】(1)时,由,得,则又,故是首项为,公差的等差数列。(2)由(1)知,,则当时,;当时,不满足上式。故【例13】已知等差数列的前项和满足。(1)求得通项公式;(2)求数列的前项和。【解】(1)设的公差为,则,解得,,故(2)由(1)知则的前项和【例14】在公差为的等差数列中,已知,且。(1)求;(2)若,求。【解】(1)由,得,解得或则,或(2)设数列的前项和为,当,由(1)知,则当时,当时,综上所述,【例15】设各项均为正