求数列通项公式的十种方法.doc

求数列通项公式方法大全一、累加法适用于:----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以。例2已知数列满足,求数列的通项公式。解法一:由得则所以解法二:两边除以,得,则,故因此,,:,,:裂项求和评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。,且,:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解二、:----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。例4已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=:已知等式可化为:()(n+1),即时,==.评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,,求数列{an}:-:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式,、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。,其中)型(1)若c=1时,数列{}为等差数列;(2)若d=0时,数列{}为等比数列;(3)若时,数列{}为线性递推数列,:设,得,与题设比较系数得,所以所以有:因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,所以即:.规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1),,求数列的通项公式。解法一:又是首项为2,公比为2的等比数列,即解法二:两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……,求通项。答案::(其中q是常数,且n0,1)①若p=1时,即:,累加即可.②若时,即:,求通项方法有以下三种方向::,令,则,然后类型1,。即:,令,,:,求出,:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例7已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数法):设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略解法三(两边同除以):两边同时除以得:,下面解法略练习.(2003天津理)设为常数,≥1,;(其中k,b是常数,且)方法1:逐项相减法(阶差法)方法2:待定系数法通过凑配可转化为;解题基本步骤:1、确定=kn+b2、设等比数列,公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8在数列中,求通项.(逐项相减法)解:,①时,,,则利用类型5的方法知即②①②,,求通项.(待定系数法)解:原递推式可化为比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列,首项,:(其中a,b,c是常数,且)基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得,所以由,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。例11已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得或,不妨取,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)则,则是首项为4,公比为3的等比数列,,若,且满足,:.四、迭代法(其中p,r为常数)型例12已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以又,所以数列的通项公式为。注: