第五章 相似矩阵及二次型1§1向量的内积、长度及正交性定义1:设n维向量记作称为向量x与y的内积,2内积有下列性质:(1)[x,y]=[y,x];(2)[lx,y]=l[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(4)[x,x]>0,x≠0;[x,x]=0,x=-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式:3定义2:称为向量x的长度,记作特别地,当时,称x为单位向量。向量长度有下列性质:(1)||x||>0,x≠0;||x||=0,x=0;(2)||lx||=|l|||x||;(3)||x+y||≤||x||+||y||;4称为向量x与y的夹角。若q=900,则称向量x与y正交,记作x⊥y。x⊥y[x,y]=0设5定理1:若向量组中不含零向量,且两两正交,则向量组线性无关。设6例1:设在向量空间中,求向量,使得两两正交。7解:设解线性方程组则解向量必与都正交,得基础解系取,则两两正交。,若两两正交,且都是单位向量,则称是V的一个规范正交基(标准正交基).9施密特(Schimidt)正交化过程:使得与等价。求正交向量组设向量组线性无关,10
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