公因数与公倍数基本概念及应用汇总.doc

公因数与公倍数基本概念及应用汇总1、公因数:几个数共有的因数,叫这几个数的公因数。最大公因数:公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数。2、公倍数:几个数共有的倍数,叫这几个数的公倍数。最小公倍数:公倍数中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。3、三种关系的数如何求最小公倍数与最大公因数:①当两个数是互质数时,它们的最大公因数是1,最小公倍是它们的积;②当两个数是倍数关系时,较小的数是这两个数的最大公因数,较大的数是这两个数的最小公倍数;③当两个数是一般关系时,用短除法求这两个数的最大公因数与最小公倍数。     由此可知,最大公因数是公有质因数连乘的积,最小公倍数是公有和独有因数连成的积。可见,最小公倍数是最大公因数的倍数,最大公因数是最小公倍数的因数。掌握这一点是解决此类问题的关键。4、最大公因数与最小公倍数实际应用例题。例1、A=2×3×5×7,则A因数有( )个。分析:一个合数分解质因数后,其因数是一个或几个质因数连成的积。因此,数A的因数为;一个质因数构成的,2、3、5、7;两个质因数构成的6、10、14、15、21、35;三个质因数构成的30、42、105、70;四个质因数构成的210;。例2、A=2×2×3  B=2×3×5则A、B的最大公因数与最小公倍数分别是(  )(   )分析:因为“最大公因数是公有质因数连乘的积”,所以A、B的最大公因数为2×3=6;“最小公倍数是公有和独有因数连成的积” A、B的最小公倍数为2×3×2×5=60练习①已知甲、乙两数的最大公因数是6,最小公倍数是36,求甲、乙两数。分析:“最小公倍数是公有和独有因数连成的积,因此最小公倍数是最大公因数的倍数,” 解析36÷6=6   6即为独有因数的积,6=1×6或 6=2×3因此甲乙两个数分别为(1×6=6   6×6=36)或(2×6=12    3×6=18)②两个数最大公因数是12,最小公倍数是180,且大数不是小数的倍数,求这两个数。解析:180÷12=15   15=3×5   (3×12=36   5×12=60)例3、两个数的最大公因数是42,最小公倍数是2940,且两个数的和是714,这两个数各是多少?解析:2940÷42=70  ﹙70为独有因数连成的积﹚。“两个数的和是714”,则两数和是最大公因数的倍数,它是最大公因数与独有因数和的积,因此714÷42=17,17是独有因数的和。因此70只能分解成10和7的积,70=7×10  (7×42=294   10×42=420)练习①已知两个自然数的和为72,它们的最大公因数是12,求这两个数。解析:72÷12=6     6=1+5   (1×12=12   5×12=60)例4、把长20厘米,宽42厘米的长方形铁片剪成边长是整厘米数,面积相等的正方形铁片,并且没有剩余,至少可剪多少块?分析:因为要剪成“面积相等的正方形铁片,并且没有剩余”,因此,正方的边长既是20的因数,也是42的因数,并且是最大的公因数;42和20的最大公因数是2,故正方形边长为2厘米。剪得块数即为:(20÷2)×(42÷2)=210(块) 求54、36、72的最大公因数。练习②把长120厘米,宽80厘米的铁板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可以裁成多少块?提示:求120、18的最大公因数。例5