《反证法》参考课件1.ppt

直接证明与间接证明 反证法
复习
:
综合法和分析法
:
由因导果
执果索因
,两种方法如何运用?
通常用分析法寻求思路,再由综合法书写过程
综合法
已知条件
结论
分析法
结论
已知条件
(1)如果有5只鸽子飞进两只鸽笼,至少有3只鸽子在同一只鸽笼,对吗?
(2)A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗?为什么?
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.
由A撒谎, 知B没有撒谎.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
这与B撒谎矛盾.
思考?
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明
注:反证法是最常见的间接证法,同一法也是一种间接证法.
一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),
经过正确的推理,
最后得出矛盾。
因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,
这样的证明方法叫做反证法。
理论
反证法的证明过程:
否定结论——推出矛盾——肯定结论,即分三个步骤:反设—归谬—存真
反设—假设命题的结论不成立;
存真—由矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定原结论
成立。
归谬—从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
用反证法证明命题的过程用框图表示为:
肯定条件
否定结论
导致
逻辑矛盾
反设
不成立
结论
成立
反证法的基本步骤:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成-------立;
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结------论正确
归缪矛盾:
(1)与已知条件矛盾;
(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
(3)自相矛盾。
应用反证法的情形:

(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论.
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题;
(4)结论为“唯一”类命题;
已知:一个整数的平方能被2整除,求证:这个数是偶数。
证明:假设a不是偶数,
则a是奇数,不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1
∴a2是奇数,与已知矛盾。
∴假设不成立,所以a是偶数。
注:直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。
例题
说明:常用的正面叙述词语及其否定:
正面
词语
等于
大于(>)
小于(<)
是
都是
否定
正面
词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
至多有n个
任意两个
否定
不等于
小于或
等于(≤)
大于或
等于(≥)
不是
不都是
至少有两个
一个也没有
某个
某些
至少有n+1个
某两个
例2: 不可能成等差数列
注:否定型命题(命题的结论是“不可能……”,
“不能表示为……”,“不是……”,“不存在……”,“不等于……”,“不具有某种性质”等) 常用反证法
解题反思:
证明本题时,你是怎么想到反证法的?
反证法中归谬是核心步骤,本题中得到的逻辑矛盾是什么?