数学破题36计(29-32).doc

第29计向量开门数形与共●计名释义非数学问题数学化,说的是数学建模,非运算问题运算化,向量是典型的代表.向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一,有深刻的几何背景,,,它像一个媒婆,牵起了一根线,一头连着代数,另一头连着图形,只要经它轻轻一拉,数形便能结合成一家人.Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse●典例示范【例1】α,β为锐角,且sinα-sinβ=,cosα-cosβ=,求tan(α-β)之值.【解答】如图,设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)为单位圆上两点,由条件知:0<α<β<.那么:=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)=.∴||=,||=||=1.例1题解图△OAB中,由余弦定理:cos(α-β)=cos(β-α)=.∴sin(α-β)=,tan(α-β)=.【点评】如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性,那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处,再看下例.【例2】设a,b,c,d∈R,证明:ac+bd≤【解答】设m=(a,b),n=(c,d),则mn=ac+bd,|m|·|n|=∵m·n=|m|·ncos(m,n)≤|m|·|n|.∴ac+bd≤.【点评】难以置信的简明,这正是向量的半功伟绩之一,那么,向量在解析几何中又能起作用吗?【例3】在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且两两夹角均为60°,则对角线AC1之长为.【思考】,显然,这种方法需要较大的计算量,例如,?这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗?利用向量岂不更为省事?向量的数量积公式可以保驾护航.对!走向量法解题的道路.【解答】如图所示,∴==1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6∴||=.例2题解图【点评】向量运算的优越性,由本例已可一览无遗,特别是||2=的运用奇妙.注意:与所成角等于与所成角,是60°而不是120°.●对应训练1如图,在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中,E、F分别是AB、AC上的动点,满足AE=BF.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时,求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示).第1题图2已知a,b∈R+,且a≠b,求证:(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上.●参考答案1.(1)如图,以B为原点,直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,并设=x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a).E(0,a-x,0),F(x,0,0),∴=(x,-a,-a),=(-a,a-x,-a).∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0,∴⊥.(2)VB′—BEF=S△EEF·||=·(a-x)·x·a=a(a-x)·x≤a·,当且仅当a-x=a,即x=时,(VB′—BEF)max=,此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD.设垂足为M,连B′M,∵BB′⊥平面ABCD,第1题图由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,设为θ,∵||=∴tanθ=.即θ=arctan2,则二面角B′—EF—B的大小为arctan2.2设m=(a,b),n=(a2,b2),∵m·n≤|m|·|n|.∴a3+b3≤,即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4).3如图,设A(x1,),B(x2,),C(x3,),△ABC的垂心为H(x0,y0),则,,第3题解图∵,∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0-·.∵x1≠x2,∴x0-x3.∴x0+(1)同理:x0+.∴x2-x1=y0.∵x1≠x2,∴y0=-x1x2x3,代入(1):x0-=x3=0,∴x0y0=1,即H(x0,y0)在双曲线xy=1上.第30计统计开门存异求同●计名释义甲问:什么是“可能一统”?乙答:就是“可能性”完成大一统.甲:此话怎讲?乙:排列、组合讲的是“可能状态”,概率讲的是“可能比值”,而统计则是对“各种可能”的计算,故称“可能一统”.甲:这有什么意义呢?乙:现实意义,实际意义,,如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.甲:不