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祝大家考试顺利!中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷(开卷)一考试日期:2010年4月日时间110分钟注:解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分,每小题3分),且有和,则方程在上的解存在唯一,对任意为初值由迭代公式产生的序列一定收敛于方程在上的解,且有误差估计式;:确定决策变量、建立适当的约束条件、建立目标函数;“锯齿现象”,其原因是:最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的;,,设函数是的三次样条插值函数,则满足的三个条件(1)在每个子区间(i=1,2,…,n)上是不高于三次的多项式;(2)S(x),S’(x),S’’(x)在上连续;(3)满足插值条件S(xi)=yi(i=1,2,…,n);,是样本均值,则N(3,);,N表示试验次数,n、m表示因子水平数,p、q表示试验至多可以安排因素的个数;=LU,且分解唯一时,可对进行解,选主元素的Gauss消元法是为了避免采用绝对值很小的主元素导致误差传播大,,用Euler法解的公式为。二、(本题6分)某汽车厂三种汽车:微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模,每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆,中级车1200辆,高级车1000辆,请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。微型车中级车高级车资源可用量钢材(吨)(吨)人工(小时)30405055000(小时)利润234解:设微型车生产了x1辆,中级车生产了x2辆,高级车生产了x3辆,而钢材、人工均有限制,所以应满足限制条件:钢材:+2x2+≤6000人工:30x1+40x2+50x3≤55000生产数量:x1≥1500x2≥1200x3≥1000从而问题的数学模型为:Maxc1x1+c2x2+c3三、(本题10分)已知的数据如表:0125-5306用Newton插值法求的三次插值多项式,计算的近似值,给出误差估计式。解:xiF(xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0-513820-3-11/25625/427/--,而四、(本题12分)为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异,现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌(记为并假设,,)后的存活日数,得到的数据已汇总成方差分析表如下:(1)试把上述方差分析表补充完整(请在答卷上画表填上你的答案)小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异?(取,)解:(1)见表中红色部分设H0:μ1=μ2=μ3=…=μi选取统计量,由于显著性水平未给出,设α=,查表得,因为F=>,所以拒绝H0,即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。五、(本题12分)用表格形式单纯形法求解(本题10分)试确定求积公式中的待定系数,使其代数精度尽量高。解:将分别代入式中得,因此得七、(本题12分)(1)在多元线性回归建模过程中,需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法?(2)如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C,如何用正交表安排试验,交互作用见下表,试作表头设计。表两列间交互作用表列号(列号)1234567325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1解:(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y影响程度大小(偏回归平方的大小),从大到小地依次逐个地引入回归方程,并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验,看其是否仍然显著,如不显著就将其剔除,知道回归方程中所含的所有变量对y的作用都显著是,才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中,选出对y作用最大者,检验其显著性,显著着,引入方程,不显著,则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入,也没有不显著的变量需要剔除为止。如果因子A放在第1列,因子B放第2列,则A×B放在第3列。如C放在第4列,再查交互作用表,A×C和B×C应分别放在第5列和第6列。表头设计如下:列号1234567因子ABA×BCA×CB×C八、(本题14分)设方程组为(1)对方程组进行适当调整,使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛;(2)取,用Gauss-Seidel迭代法计算两步迭代值,;(3)取,估计用Ja