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理学硕士学位论文

一类特殊小波的构造







硕士研究生: 闫立军
导师:冉启文教授
申请学位: 理学硕士
学科、专业: 应用数学
所在单位:数学系
答辩日期:2006 年 6 月
授予学位单位: 哈尔滨工业大学
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Dissertation for the Master Degree in Science


THE STRUCTURE OF ONE KIND OF
SPECIAL WAVELETS






Candidate: Yan Lijun
Supervisor: Prof. Ran Qiwen
Academic Degree Applied for: Master of Science
Specialty: Applied Mathematics
Affiliation: Department of Mathematics
Date of Defence: June, 2006
Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
摘要
随着小波变换理论研究的不断深入和实际应用的日益广泛,小波分析的
各种优势在不断的明确。MRA(Multiresolution analysis)作为一种优美的数
学思想,越来越多的为广大科学家、工程师所接受,但是随着小波应用到各
个不同领域,展现出来的问题也越来越多,其中一个突出的问题就是要求我
们找出更多的具有不同性质的小波。
这篇文章主旨是建立任意尺度 a >1的小波紧框架的完全特征,特别是正
交小波的特征,这里的小波是由 LLR22:= ( ) 中的一族函数生成的。Weiss及其
同伴们做了一些关于整数尺度伸缩小波的工作,这里是对他们工作的一般
化。作为一个应用,我们将给出由一个 L2 中的函数生成的具有任意尺度伸缩
因子 a >1的正交小波的例子,并且这个小波还有很好的时频定位性。作为另
外一个应用,我们将说明当 a >1且 a 满足对于任意的 j ∈ Z + 有 aQjc∈时,具
有良好时频局限性的 a 尺度正交小波是不存在的。这就回答了Daubechies在
《小波十讲》里面提出的关于所有无理尺度伸缩因子的问题。
经典的MRA小波可能是现在最重要的一类小波。许多著名的例子都属于
这一类,它们已经被应用到很多领域。这样,一个问题就自然凸现出来了:
一个小波是MRA小波的充分必要条件是什么。与这个问题的答案比较接近的
包括维函数的应用。这里我们证明了具有整数尺度伸缩因子的紧框架小波维
函数几乎处处取整数值。


关键词多分辨分析; 紧框架; 维函数
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哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
Abstract
With the deeper study of the theory of wavelets and their more extensive
applications, many advantages have emerged gradually. MRA (Multiresolution
analysis), as a kind of graceful mathematics thought, is accepted by more and more
scientists and engineers. However, panying with the application to different
fields, there es many problems, one of which is asking for more wavelets
with different characters.
The objective of this paper is to establish plete characterization of tight
frames, and particularly of orthonormal wavelets, for an arbitrary dilation factor
a > 1, that are generated by a family of finitely many f