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,若存在一对应法则,,唯一的实数与之对应。则称是定义在上的函数,记为:或也可记为:,.──定义域,──自变量,──因变量f(x)={y=f(x)|x}称f(x)为f的值域函数的两个重要因素:对应法则;(x)=[x](x)=(x)=x-[x](平面上){(x,f(x)|x}注意:整数部分函数和小数函数的连续(单调性和周期性)Example2|x|Example3Dirichlet函数D(x)=sgn(x)=函数的特性1奇偶性定义域X是关于原点对称f(-x)=-f(x)奇f(x)=x和f(x)=sin(x)f(-x)=f(x)偶f(x)=cos(x)和f(x)=x2单调性,有f()f()单调f(x)=xf(x)=x3周期性Def,对有f(x+T)=f(x)T是周期y=sin(x)TD(x)4有界性Def,对有Def’且对有Def(无界的定义)使得Exa第二节初等函数复合函数Def1则是定义在X上的函数,称为与的复合函数。(减)的函数必有反函数,且其反函数也是严格递增(减)的。证明:设在上严格递增。要证在上也严格递增。(反证法)如果不然,但这时有得证基本初等函数常值函数 ,其中≠0。(Newton)然后令,先,后。(Cauchy)§,记为。。也称为数列的通项。Exa。,.,当n无限大时,无限接近于0。因而的极限为0。,n是一实数,若对于(充要)N>0,当n>N时,都有|-|<则称收敛即它的极限为,记为。几何意义: - +外面仅有有限项。(无穷小量是指一个极限概念,趋向常数0)<=>:.证明:,要使|-0|<<.只要,取N=则当n>N时,有|-0|=≤<||<1,证明.||n=>0,:a≥1,.,,则(1);(2);(3).Th2.(有界性)设,:对时,|-|<1-1<<+1||≤||+1取M=max{1+||,||,||,…,||}>0,则||≤M,n=1,2,…,(保号性):若,则N,当n>N时,有。证明:由,取,N当n>N时,|-|<>-=>00推论2:设,若,N,当n>N时,有;若,N,当n>N时,有。定理1的证明:1.。定理4:若{}是无穷小量,{}是有界数列,则{+}是无穷小量。.。.。定理5(保序性):若,,N,当n>N时,。Th6.(极限不等式)且则Th7.(夹逼性):=>Ex13其中A>B>0求证…第四节函数的极限一、极限的定义1、在点的极限1)可在函数的定义域内,也可不在,不涉及在有没有定义,以及函数值的大小。只要满足:存在某个使:。2)如果自变量趋于时,相应的函数值有一个总趋势-----以某个实数为极限,则记为:。形式定义为:注:左、右极限。单侧极限、极限的关系2、的极限设:如果当时函数值有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线-----则称函数在无限远点有极限。记为:在无穷远点的左右极限:关系为:二、函数极限的性质极限的唯一性函数极限的局部有界性函数极限的局部保号性函数极限与数列极限的关系第五节无穷小与无穷大一、无穷小定义定义:对一个数列,如果成立如下的命题:则称它为无穷小量,即注:1、的意义;2、可写成;3、上述命题可翻译成:对于任意小的正数,存在一个号码N,使在这个号码以后的所有的号码,相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1在自变量的同一变化过程(或中,函数具有极限A的充分必要条件是,其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列,如果成立:那么称它为无穷大量。记成:。特别地,如果,则称为正无穷大,记成特别地,如果,则称为负无穷大,记成注:无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且则为无穷大即:非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系:当时:有注意是在自变量的同一个变化过程中第六节极限运算法则1、无穷小的性质设和是无穷小量于是:(1)两个无穷小量的和差也是无穷小量:(2)对于任意常数C