排列与组合(教).doc

排列与组合基本知识1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理:①分类计数原理(加法原理)完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.②分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.③分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,、排列与组合:(1)排列、组合的概念;所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。(2)排列与组合的区别:________________________;(3)排列数与组合数联系:;要知道排列数计算公式的推导过程;(4)排列数公式;组合数公式。其中。(5)规定____;____;=______;=______。(6)排列数与组合数的性质:①;②;③;④。3、解排列、组合题的依据是:分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合;基本规律有:(1)分类计数原理与分步计数原理使用方法有单独使用与联合使用两种。(2)对于带限制条件的排列问题,通常从以下三种途径考虑:①元素分析法:先考虑特殊元素要求,再考虑其他元素;②位置分析法:先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置;③间接法:先算出不带限制条件的排列数,再减去不满足限制条件的排列数。(3)解组合问题应注意:①对结果恰当地分类,设计“分组方案”是解组合题的关键所在;②是用“直接法”还是“间接法”求解,其原则是“正难则反”;例题例1有四位学生参加三项不同的竞赛,(1)每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有多少种?(2)每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有多少种?(3)每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有多少种?例2(1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种;(2)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法有_____种。今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有____种不同的方法。答案:例1(1)学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以有34=81(种);(2)竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4种不同学生,共有43=64(种);(3)等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛,每人参加一项,故共有(种)。例2、(1)可以分情况讨论,①甲去,则乙不去,有=480种选法;②甲不去,乙去,有=480种选法;③甲、乙都不去,有=360种选法;共有1320种不同的选派方案;(2)人数分配上有与两种方式,若是,则有种,若是,则有种,所以共有150种。例3、解析:由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有。计算:;变式计算:。(思考:计算:)证明:;变式求证:;例6解方程:(1)若,求n;(2)若