函数的单调性.ppt

函数的单调性87414函数的单调性设函数f(x)的定义域为I:一、函数的单调性注:,,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数;如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)、:对任意x1,x2∈M,且x1<x2;三、用定义证明函数单调性的步骤③在单调区间上,增函数的图象自左向右看是上升的,:f(x1)-f(x2);;:①函数的单调区间只能是其定义域的子区间;②函数的单调区间是连续区间,若区间不连续,[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:四、复合函数的单调性五、:::::::奇函数在对称区间上具有相同的单调性;、(x)的单调递增(或递减)区间是D:(x)在区间D上单调递增(或递减):不等式f(x)>0(<0)的解集是区间D;不等式f(x)≥0(≤0)对于x(x)可导,(x)=ax+(a>0,b>0):∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),典型例题函数f(x)的导函数f(x)=a-=,bx2ax2-bx2∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-)与(,+∞),abab函数f(x)的单调递减区间是(-,0)与(0,).abab令f(x)<0得:x2<-<x<0或0<x<.ababab令f(x)>0得:x2>x<-或x>;ababab②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意,如果函数的解析式含有参数,而且参数的取值影响函数的单调区间,:①这个函数的单调性十分重要,应用非常广泛,它的图象如图所示:oyx2ab-2abbaba-=2log2x-2logx+:令t=logx,则t关于x在(0,+∞)=2t2-2t+1在(-∞,]上单减,在[,+∞)上单增,1212又由t≤得x≥,1222由t≥得0<x≤,1222故函数y=2log2x-2logx+1在[,+∞)上单调递增, 在(0,](x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当k为何值时,函数f(x)的单调递减区间是(0,4);(2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减.∴不等式f(x)<0的解集为(0,4),∴0与4是方程kx2+2(k-1)x=0的两根,即kx2+2(k-1)x<0的解集为(0,4),(2)命题等价于kx2+2(k-1)x<0对x(0,4)恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价于kx+2(k-1)<0对x(0,4)恒成立,由于g(x)为单调函数,g(0)≤0g(4)≤0k≤.13则(或分离变量k<对x(0,4)恒成立.)x+22解:对f(x)求导得f(x)=3kx2+6(k-1)x,(1)∵函数f(x)的单调递减区间是(0,4),(x)=8+2x-x2,若g(x)=f(2-x2),试确定g(x):g(x)由f(t)=8+2t-t2及t=2-x2复合而得.∵y=f(t)=8+2t-t2=-(t-1)2+9,∴f(t)的递增区间是(-∞,1],递减区间是[1,+∞).当x(-∞,-1]时,t=2-x2是增函数,这时t(-∞,1],y=f(t)(-∞,-1]时,g(x)=f(2-x2)是增函数;当x[-1,0]时,t=2-x2是增函数,这时t[1,2],y=f(t)[-1,0]时,g(x)=f(2-x2)是减函数;当x[0,1]时,t=2-x2是减函数,这时t[1,2],y=f(t)[0,1]时