奥数新定义运算.doc

节奥数定义新运算虿我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外,还会有什么别的运算吗?现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。蒈定义袄1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。蚂注意:(1)解决此类问题,关键是要正确理解新定义的算式含义,严格按照新定义的计算顺序,将数值代入算式中,再把它转化为一般的四则运算,然后进行计算。荿(2)我们还要知道,这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号,如:*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。蒀(3)新定义的算式中,有括号的,要先算括号里面的。膆2、一般的解题步骤是:莅一是认真审题,深刻理解新定义的内容;肀二是排除干扰,按新定义关系去掉新运算符号;芇三是化新为旧,转化成已有知识做旧运算。莅二、初步例题诠释螄例1、对于任意数a,b,定义运算“*”: a*b=a×b-a-b。袀求12*4的值。莈分析与解:根据题目定义的运算要求,直接代入后用四则运算即可。蚇12*4=12×4-12-4=48-12-4=32芄例2、假设a★b=(a+b)÷b。求8★5。薁分析与解:该题的新运算被定义为:a★b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和,再算后面的商。这里a代表数字8,b代表数字5。蒀8★5=(8+5)÷5=、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎(9◎2)。蚃分析与解:根据定义,要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。莁6◎(9◎2)芇=6◎[9×2-(9+2)]膈=6◎7肂=6×7-(6+7)肁=42-13艿=29芆例4、如果1Δ3=1+11+111;2Δ5=2+22+222+2222+22222;8Δ2=8+88。薂求6Δ5。袂分析与解:仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字,而加数分别是一位数,二位数,三位数,……“Δ”后面的数字是几,就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。莀6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070莄例5、如果规定2=1×2×3,3=2×3×4,4=3×4×5,……膅计算(-)×。薂分析与解:该题看上去比较复杂,但仔细观察,我们可以发现,该题被定义为X=(X-1)×X×(X+1)。由于把数代入算式中计算比较麻烦,我们可以先化简算式后,再计算。膇(-)×螇=×-×蚅=-×莃=(1-)腿=×(1-)袅=×(1-)肄=×蝿=芀例6、规定a▲b=5a+ab-3b。求(8▲5)▲X=264中的未知数。芈分析与解:根据新定义,应该先计算括号里面的,再计算括号外面的,然后解方程即可。蒃(8▲5)▲X=264蕿(5×8+×8×5-3×5)▲X=264螃45▲X=264膂5×45+×45×X-3X=264虿225+X-=264肆225+X=264袅X=39芀X=2肈三、边学边试螆【例1】A,B表示两个数,定义A△B表示(A+B)÷2,袆求(1)(3△17)△29;薃(2)[(1△9)△9]△6。蒇【分析与解】定义新运算符号“△”表示A△B=(A+B)÷2,即两个数做“△”:3△17=(3+17)÷2=10,再用10与29做运算,10△29=(10+29)÷2=(1)原式=[(3+17)÷2]△29(2)原式={[(1+9)÷2]△9}△6蚄=[20÷2]△29=[5△9]△6螁=10△29=[(5+9)÷2]△6膁=(10+29)÷2=7△6芇=39÷2=(7+6)÷2螅==【试一试】蚀1、A,B表示两个数,定义A*B=2×A-:羇(1)(×)*5(2)(-)*(+)薂2、设a▽b=a×b+a-2b,按此规定计算:膂(1)8▽(2)(4▽)▽7聿【例2】已知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=:(1)3*3;(2)4*5;(3)若1*x=123,【分析与解】观察两个已知等式可以发现,“*”定义的是连加运算,第一个加数是“*”前边的数,且后一个加数都比前一个加数多一位,但数字相同,而“*”后边的数恰好是加数的个数。芀(1)3*3=3+33+333=369葿(2)4*5=4+44+444+4444+44444=49380蒈(3)提示:因为1*x=1+11+111+…=123蚅所以倒着算:123-1=122122-11=111111-111=0蚃即:1+11+111=1*3=123袈从而可知x=3芈【试一试】蒂已知5△3=5×6×7