六、向量向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积定比分点公式平移物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件一、基本概念:(1)向量的定义:叫做向量,可用字母表示,如:;也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示,如:;(2)向量的两个要素:、;其中向量的大小又称为;记为:;(3)向量与数量的区别:向量不同于数量,它是一种新的量,数量是只有大小的量,其大小可以用正数、负数或0来表示;它是一个代数量,可以进行各种代数运算;数量之间可以进行大小比较,“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。向量是既有大小又有方向的量;向量的模是正数或0,是可以进行大小比较的;由于方向不能比较大小,因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。(4)特殊形式的向量:①零向量:;记为:;方向为;规定:零向量与任一向量;②单位向量:;③自由向量:一个向量只要不改变它的大小和方向,它的起点和终点可以任意平行移动的向量,叫做自由向量(本书研究的都是自由向量).④平行向量:叫做平行向量(也称为共线向量);向量与向量平行,记作:;⑤相等向量:叫做相等向量;向量与向量相等,记作:;注:①零向量与零向量相等;②任意两个相等的非零向量,都可以用一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关。③两个向量相等是一个很重要的概念,从几何意义上看,就是这两个向量的长度相等且方向相同;从代数表达式考虑,就是它们对应的系数相等;对于用坐标表示的向量来说,就是这两个向量的坐标相等,这一点在解题中有很重要的作用。⑥相反向量:叫做相反向量,向量与向量相反,记作:;二、向量的表示法(1)几何表示法:用有向线段表示,如:;(2)字母表示法:用一个小写字母表示,如:;注意:解题时,向量中的箭头不可省。(3)坐标表示法:在直角坐标系内,分别取的两个单位自量作基底,则对任一向量有且只有一对实数,使,就把叫做向量的(直角)坐标,记作;注意:①叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标。②;;;三、向量的运算:(1)向量的加法:①向量法:三角形法则,平行四边形法则②坐标法:若,则;③重要结论:Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为;Ⅱ当两向量平行时,平行四边形法不适用,可用三角形法则。(2)向量的减法①向量法:三角形法则、平行四边形法②坐标法:若,则;③重要结论:;;;④从几何图形的角度理解:取左边不等号中等号的条件取右边不等号中等号的条件取左边不等号中小于号的条件取右边不等号中小于号的条件异向或其中至少有一个零向量同向或其中至少有一个零向量不能异向不能同向同向或其中至少有一个零向量异向或其中至少有一个零向量不能同向不能异向注意:若将变为要比较绝对值的大小,且;若将变为要比较的模的大小,且;(3)实数与向量的积(数乘)①定义:一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:Ⅰ、Ⅱ、当时,的方向与的方向相同,当时,的方向与的方向相反。②坐标法:若,则;③运算律:设为实数,为向量:结合律:;第一分配律:;第二分配律:;(4)平面向量的数量积①数量积:已知两个非零向量和,它们的夹角为,则数量叫做和的数量积(或内积),记作:;注意:Ⅰ、夹角的范围:;其中当时;当时;当时;当两个向量的夹角是锐角时,它们的数量积大于0;当两个向量的夹角是钝角时,它们的数量积小于0;零向量与任何向量
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