圆周率的解析.doc

圆周率的解析《数学导报》2006年2期上刊登了文[1],该文认为“悠久的历史、奇妙的性质使得π蕴含着丰富的数学教育功能,然而在以往的数学教学中,这种功能却常常处于一种闲置状态,被当成一个冰冷的符号在使用。”并从“培养求真精神、激发好奇心、进行研究性学习”三个方面展开探讨如何开发π中的数学教育功能。笔者读后,很受启发,同时也觉得如果充分利用信息技术(譬如用超级画板)来探索π,那就显得更加直观,完全可以达到可视化的效果。超级画板是一款智能化教学软件,功能相当强大,具有动态几何,符号运算,统计图表,编程环境,文稿演示等多种功能。它不仅能够满足中学数学教学和数学实验的几乎所有需求,而且操作方式简单快捷,易学易用,体现了人性化,智能化,可视化,动态化和程序化。本文所有课件都是用免费版本的超级画板制作,该软件可在下载,更多经典案例参见文[2]。下面以几个实例来说明如何利用超级画板探索π的性质。例1:圆内接正多边形周长与圆周长之间的关系圆周率π导常被定义为圆周长与直径的比,但圆是曲线,周长如何求呢?古代数学家很早就想出了穷竭法,将将圆的周长定义为圆内接正多边形周长的极限,设圆的周长为C,圆内接正多边形周长为,则有。可若要严格证明,必然涉及“单调有界数列必有极限”这一抽象的极限知识,怎样才能让中学生比较直观而又深刻地理解这一点呢?利用超级画板,简单的几步操作就能很好地解决这个问题。(1)点击【作图】|【文本作图】,在文本对话框中输入“Function(rho=3,0,2*pi,500,);Function(rho=3,0,2*pi,floor(n)+1,);Variable(n);”,点击运行则可生成圆和圆内接正多边形以及一把控制多边形边数的变量尺;(2)拖动参数n使之约等于3,然后双击圆内接多边形,在对话框中勾选“折线段”。此时我们拖动参数n使之从小到大变化,看到正多边形向圆“逼近”的过程(图1,2,3),很自然就能体会到刘徽关于“割圆术”的论述:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。”我们可以进一步作出圆的外切多边形,利用“两边夹”的思想来计算圆的周长。图1图2图3例2:圆面积公式与周长公式之间的关系在小学就学过圆的面积公式和周长公式,但这两个公式有什么关系呢?求出圆的周长之后,如何来求圆的面积呢?我们可以用超级画板作出圆与矩形互变的动画:首先将圆分成若干等份(图4),然后将圆弧展开(图5),接着将上边部分平移一个三角形的位置(图6),最后将上边部分插入到下边部分(图7)。我们直观地看到圆转化成矩形(近似)的过程,很容易就能得到圆的面积。同时,我们可以得出结论:等分份数越多,圆弧就越接近于直线,最后所得图形就越接近于矩形。图4图5图6图7例3圆周率的微积分定义除了用圆周长与直径的比来定义圆周率π,还可以用单位圆的面积来定义π。这是因为当r=1时,圆的面积,于是又可以用表示π。下面是用超级画板探索的过程。(1)点击【作图】|【文本作图】,在文本对话框中输入“Function(y=(1-x^2)^(1/2),0,1,n,);Variable(n);”,点击运行则可生成一段圆弧和一把变量尺;(2)双击圆弧,在对话框中勾选“x轴区域”,并填充颜色;(3)点击【作图】|【文本作图】,在文本对话框中输入“MeasureLowerArea(5)