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国内图书分类号:O177
国际图书分类号:
理学博士学位论文
量子逻辑的内蕴拓扑
博士研究生: 雷强
导师: 李容录教授
申请学位: 理学博士
学科、专业: 基础数学
所在单位: 数学系
答辩日期: 2008 年 4 月
授予学位单位: 哈尔滨工业大学
Classified Index: O177
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Dissertation for the Doctoral Degree in Science
THE INTRINSIC TOPOLOGY OF
QUANTUM LOGICS
Candidate: Lei Qiang
Supervisor: Professor Li Ronglu
Academic Degree Applied for: Doctor of Science
Specialty: Fundamental Mathematics
Affiliation: Department of Mathematics
Date of Defence: April, 2008
Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology
摘要
摘要
量子力学和相对论是二十世纪两项最伟大的科学成就. 它们的创立和发
展不仅导致了一系列重大技术发明, 而且使得人们对客观世界的运动规律有
了基本正确的革命性的理解. 自上世纪九十年代以来, 与量子理论相关联的
量子计算机、量子信息、量子通讯等理论和技术更是得到了迅猛发展. 然而
要最终实现有价值的量子计算、量子通讯等, 不仅在实用化中存在着巨大困
难, 而且有的困难甚至是原理性的. 从一般原则上讲, 这些困难的根源是量子
力学的测量问题. 经典的冯·诺伊曼测量理论是将每个测量看做一个 Hilbert 空
间上的正交投影算子, 从而将研究测量问题转化为研究 Hilbert 空间上的正交
投影算子格. 但此格仅能描述可精确测量的量子现象. 1994 年, Foulis 等人引
进了用于描述不可精确测量现象的数学结构, 即效应代数, 这是量子理论的
数学公理化问题的一个重大进展. 众所周知, 自从扎德创立不确定性数学即
模糊数学以来, 其思想和方法在计算机、人工智能、控制论等领域得到了重
要应用. 具有不精确性的效应代数理论有可能将模糊数学与量子理论统一起
来. 鉴于拓扑理论在计算机科学、逻辑推理、 Domain 理论中的基础性和核
心性作用, 本文研究了效应代数的几类典型内蕴拓扑的若干性质及运算连续
性问题, 主要工作包括如下几方面:
1. 在格效应代数中, 关于效应代数运算⊕和ª 在区间拓扑下的一元连
续性已经得到证明, 而⊕和ª 的二元连续性及格运算∧和∨的连续性是否
成立仍未知. 我们给出例子说明在区间拓扑下效应代数运算⊕的二元连续性
不成立, 格运算的一元连续性也不成立. 本文通过对网在区间拓扑下收敛的
刻划, 证明了在格效应代数框架下⊕和ª 满足二元连续性的必要条件是其
上的区间拓扑是 Hausdorff 拓扑. 同时, 给出了效应代数运算和格运算满足二
元连续性的充分条件. 在第二章的最后, 证明了标度效应代数上区间拓扑是
Hausdorff 拓扑, 运算⊕和ª 关于区间拓扑是二元连续的.
2. 在效应代数 E 中, 网的序收敛与序拓扑收敛是两个不同概念, 当两
者一致且 E 序-连续时, 该效应代数称为是序-拓扑的. 本文得到, 在完备的原
子格效应代数 E 中, 下面条件等价: (1) E 序-连续, (2) E 是序-拓扑的, (3)
E 是完全序不连通的拓扑格, (4) E 是代数的. 该结论不但从代数观点, 更从
拓扑角度说明了原子的格效应代数的性质比一般格效应代数要好得多. 此结
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哈尔滨工业大学理学博士学位论文
果将 Erne 等人的工作从正交模格提升到格效应代数上. 同时, 本文改进了标
度效应代数在序拓扑意义下的一个基本矩阵定理, 扩大了该定理的应用范围.
关于格效应代数运算在序拓扑下的一元连续性已经得到证明, 而二元连续性
是否成立还没有结论. 本文给出了在完备的序-连续格效应代数上, 运算⊕满
足二元连续性的必要条件是其上的序拓扑是 Hausdorff 拓扑, 并举例说明了即
使在完备的布尔代数上, ⊕在序拓扑下也不满足二元连续性. 同时, 给出了
一系列使得运算⊕和ª 满足二元连续性的充分条件. 标准算子效应代数是效
应代数的典型代表, 在量子力学中有重要应用, 效应代数一词正是