函数的单调性.doc

读书之法,在循序而渐进,熟读而精思。——朱熹函数的单调性【学习目标】 ,掌握判断一些简单函数单调性的方法. 、减函数、单调性等概念,能准确理解这些定义的本质特点. 【学习障碍】 ,误认为它是一个整体性质,实质上是区间内的性质. ,推理过程不严密不规范. . 【学习策略】Ⅰ.学习导引 ~59页 ,难点是判断函数的单调性. ,要求①会用作差(商)法证明一些简单函数的单调性.②给出函数解析式时,会确定函数在其定义域内的单调区间.③会利用单调性作图. Ⅱ.知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式,求函数的最值等. Ⅲ.障碍分析 (x)在区间D1、D2上分别为增函数,f(x)一定是D1∪D2上的增函数吗? 单调性是与"区间"紧密相关的概念,(x)在区间D1、D2上分别为增函数,但f(x)不一定在区间D1∪=-在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上也是增函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数,f(1)<f(-1)便是一例. ,x2能否用特殊值来代替? 单调性是函数在某一区间上的"整体性质",因此,定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值替代. ? 已知函数在某区间内的单调性,可以比较两个函数值的大小,也可用来求函数在某区间内的值域或最大(小)值,这时常结合函数的图象,运用数形结合的思想方法. [例1]判断函数f(x)=x+在区间(0,+∞)上的单调性,并求出函数的值域. 解:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)= ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0. 且当1≤x1<x2时,x1x2-1>0, 当0<x1<x2≤1时 x1x2<1,x1x2-1<0 ∴当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) ∴函数y=x+在区间(0,1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数. 易知y=x+(x>0)时恒有y>0 且当x=1时,ymin=2. 从而值域为[2,+∞) 点评:函数y=x+(a≠0)是一类经常用到的函数, 当a≠0时,它有两个减区间[-,0),(0,].同时有两个增区间[,+∞),(-∞,-]. [例2]判断下列函数的单调性(1)f(x)=-x2+3x-2;(2)f(x)=3|x|. 解:(1)f(x)=-(x-)2+ ∵f(x)=-(x-)2+的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x= ∴f(x)在(-∞,]上是增函数,在[,+∞)上是减函数. (2)f(x)= ∴由f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. Ⅲ.思维拓展[例3]判定并证明下列函数在指定区间内的单调性(1)y=-x3+1(x∈R). (2)y=-ax(a∈[1,+∞),x∈[0,+∞)). (1)解法一:在(-∞,+∞)上任取x1、x2,使x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12) ∵x1<x2,∴x2-x1>0 若x1·x2>0,则x22+x1x2+x12>0, 若x1·x2=0,由x1≠x2,则x12+x22>0 也有x22+x1x2+x12>0 若x1·x2<0,x22+x1x2+x12=(x1+x2)2-x1x2>0 ∴对于任意的x1<x2都有x22+x1x2+x12>0 ∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)>0即f(x1)>f(x2) ∴y=f(x)=-x3+1在R上是减函数. 解法二:在(-∞,+∞)上任取x1、x2,使x1<x2则f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+)2+x12] ∵x1<x2,∴x2-x1>0,且x1,x2不同时为零, ∴(x2+)2与x12不同时为零,即(x2+)2+x12>0 ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2) ∴y=f(x)=-x3+1在R上是减函数. (2)解:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, f(x1)-f(x2)=(-ax1)-(-ax2) =()-a(x1-x2) =-a(x1-x2) =(x1-x2)(-a) ∵x1,x2∈[0,+∞),且x1< ∴x1+x2< 从而<1,又a∈[1,+∞) ∴-a