函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性:(奇偶性是一种特殊的对称性)1、奇偶性:(1)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式(2)偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性(1)函数的轴对称:函数关于对称也可以写成或若写成:,则函数关于直线对称证明:设点在上,通过可知,,即点上,而点与点关于x=a对称。得证。说明:关于对称要求横坐标之和为,纵坐标相等。∵关于对称,∴函数关于对称∵关于对称,∴函数关于对称∵关于对称,∴函数关于对称(2)函数的点对称:函数关于点对称或若写成:,函数关于点对称证明:设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于对称得证。说明:关于点对称要求横坐标之和为,纵坐标之和为,如之和为。(3)函数关于点对称:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称,比如圆它会关于y=0对称。(4)复合函数的奇偶性的性质定理:性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]。复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a); 复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。总结:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心。总结:x的系数同为为1,具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、与关于X轴对称。证明:设上任一点为则,所以经过点∵与关于X轴对称,∴:换种说法:与若满足,即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。证明:设上任一点为则,所以经过点∵与关于Y轴对称,∴与关于Y轴对称。注:因为代入得所以经过点换种说法:与若满足,即它们关于对称。3、与关于直线对称。证明:设上任一点为则,所以经过点∵与关于轴对称,∴与关于直线对称。注:换种说法:与若满足,即它们关于对称。4、与关于直线对称。证明:设上任一点为则,所以经过点∵与关于轴对称,∴:换种说法:与若满足,即它们关于对称。5、关于点(a,b)对称。证明:设上任一点为则,所以经过点∵与关于点(a,b)对称,∴关于点(a,b):换种说法:与若满足,即它们关于点(a,b)对称。6、与关于直线对称。证明:设上任一点为则,所以经过点,经过点,∵与关于直线对称,∴与关于直线对称。三、总规律:定义在R上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。周期性:(1
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