两个极限的简单证明.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse两个重要的极限的证明引言:两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容,第一个重要极限的证明,现行教材中通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式,再用夹逼原理证明得到结论。用极限理论计算圆或扇形面积都涉及到的结论运用,或者运洛比达法则证明极限,要利用导数公式,而这个公式恰是利用,因此,这些方法都有循环证明的嫌疑;第二个主要极限的证明,通常作法是,先考虑x取正整数n而趋于的情形,设,用牛顿二项式证明单调有界,再用单调有界数列必有极限的准则,证明数列的极限存在,方法比较复杂,特别是有界性的证明需要一定的技巧,所以本文只对两个重要极限作一个简单的证明。:OxCABD图(a)证明:如图(a)作单位圆。当0<x<时,显然有ΔOAD面积<扇形OAD面积<ΔOAB面积。即,sinx<x<。除以sinx,得到或。(1)由偶函数性质,上式对时也成立。故(1)式对一切满足不等式的x都成立。Oxy图(b)由=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得。函数f(x)=的图象如图(b)所示。:存在。证明:先建立一个不等式,设b>a>0,于是对任一自然数n有或,整理后得不等式。 (1) 令a=1+,b=1+,将它们代入(1)。由于,故有,这就是说为递增数列。再令a=1,b=1+代入(1)。由于,故有,。不等式两端平方后有,它对一切自然数n成立。联系数列的单调性,由此又推得数列是有界的。于是由单调有界定理知道极限是存在的。:。证明:所求证的极限等价于同时成立下述两个极限: (1) (2)现在先应用2中数列极限,证明(1)式成立。设<n+1,则有及, (3)作定义在[1,+上的阶梯函数。,<n+1,,<n+1。由(3)有f(x)<,x∈[1,。由于,根据迫敛性定理便得(1)式。现在证明(2)式。为此作代换x=-y,则因为当x→-∞时,有y-1→+∞,故上式右端以e为极限,这就证得。以后还常常用到e的另一种极限形式,(4)因为,令,则x→∞和a→0是等价的,所以,。结语:两个重要极限是极限理论中的重要内容,两个重要极限的证明是学习的重点,极限不及时基本的数学基础,而且是数学分析的基石,所以对于我们学住两个重要极限及其推广形式,还要能熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。所以我们要努力地把这部分内容学好。仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;ürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerd