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2012高考解题技巧之构造函数法
函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法,构造函数法便是其中的一种,下面就源于两个重要极限的不等式利用近三年高考题举例加以说明。
高等数学中两个重要极限
1.
2.(变形)
由以上两个极限不难得出,当时
1.,
2.(当时,).
下面用构造函数法给出两个结论的证明.
(1)构造函数,则,
所以函数在上单调递增,.所以,即.
(2)构造函数,,,所以,即.
要证两边取对数,即证
事实上:设则
因此得不等式
构造函数下面证明在上恒大于0.
∴在上单调递增,
即
∴∴
:2009年广东21,2008年山东理科21,2007年山东理科22.
一、三年高考
1.【09天津·文】,且,下面的不等式在R上恒成立的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知,首先令得,排除B,D.
令,则,
①当时,有,所以函数单调递增,所以当时, ,从而.
②当时,有,所以函数单调递减,所以当时, ,.
【考点定位】,考查了分析问题和解决问题的能力.
2.【09辽宁·理】21.(本小题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)证明:若,则对任意,,有.
解:(Ⅰ)的定义域为.
…………………2分
(i)若即,则,
故在单调增加.
(ii)若,而,故,则当时,;
当及时,.故在单调减少,
在单调增加.
(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.
(II)考虑函数.
则.
由于故,即在单调增加,从而当时有
,即,故,当时,有. ………………………………12分
3.【09广东·理】21.(本小题满分14分)

的切线,切点为.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
【解析】曲线是圆心为,半径为的圆,切线
(Ⅰ)依题意有,解得,又,
联立可解得,
(Ⅱ),
先证:,
证法一:利用数学归纳法
当时,,命题成立,
假设时,命题成立,即,
则当时,
∵,
故.
∴当时,命题成立
故成立.
证法二:,,
下证:.
不妨设,令,
则在上恒成立,
故在上单调递减,
从而,即.
综上,成立.
4.【09全国Ⅱ·理】22.(本小题满分12分)
设函数有两个极值点,且.
(I)求的取值范围,并讨论的单调性;
(II)证明:.
【解】(I)由题设知,函数的定义域是
且有两个不同的根,故的判别式
,
即
且…………………………………①
又故.
因此的取值范围是.
当变化时,与的变化情况如下表:
因此在区间和是增函数,在区间是减函数.
(II)由题设和①知

于是.
设函数
则
当时,;
当时,故在区间是增函数.
于是,当时,
因此.
5.【2008年山东理】 21.(本题满分12分)
已知函数其中为常数.
(I)当时,求函数的极值;
(II)当时,证明:对任意的正整数,当时,有
【标准答案】
(Ⅰ)解:由已知得函数的定义域为,
当时,,所以.
(1)当时,由得,,
此时.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
(2)当时,恒成立,所以无极值.
综上所述,时,
当时,在处取得极小值,极小值为.
当时,无极值.
(Ⅱ)证法一:因为,所以.
当为偶数时,
令,
则().
所以当时,单调递增,
又,
因此恒成立,
所以成立.
当为奇数时,
要证,由于,所以只需证,
令,
则(),
所以当时,单调递增,又,
所以当时,恒有,即命题成立.
综上所述,结论成立.
证法二:当时,.
当时,对任意的正整数,恒有,
故只需证明.
令,,
则,
当时,,故在上单调递增,
因此当时,,即成立.
故当时,有.
即.
【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果,当时恒成立,“常规处理”,即先证单调性,然后求最值,最后作出判断.
【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式
【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响,分类讨论无目标,判断
的正负漏掉符号.
【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理,使之成为一个系统,在具体运用时自如流畅,既要具有一定的思维定向,,不能有效转化是解题难以突破的主要原因,