计算方法3 线性方程组迭代解法.ppt

第3章线性方程组迭代解法IterativeTechniquesforSolvingLinearSystems()直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解,解线性方程组还有另一种解法,称为迭代法迭代法:不是用有限步运算求精确解,通过迭代产生近似解逼近精确解基本思想是将线性方程组AX=B化为X=BX+F,再由此构造一个向量序列{X(k)}X(k+1)=BX(k)+F若{X(k)}收敛在某个极限向量X*,则可得X*就是()式的准确解线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、GaussSeidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法Jacobi迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢,已经越来越不适应当前信息时代人们对计算速度和精度的要求,所以在实际应用中使用的并不多。但是,他们体现了迭代法的最基本的思想,是学习其它迭代法的基础如何构造迭代序列{X(n)}?{X(n)}在什么条件下收敛?收敛速率如何?(k)X*(k),由X(k+1)=(X(k))产生的迭代X(k)向X*的逼近,在数次迭代求解之后,由于机器跳动产生的X(k)值误差或是有效数字产生的舍入误差,都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此,在迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的,即迭代求解无累积误差,实际上,X(k)只是解的一个近似,机器的舍入误差并不改变它的性质。迭代过程中经常要遇到向量范数,矩阵范数以及序列极限的概念。 NormsofVectorsandMatrices数值分析中,经常要用向量和矩阵,为了应用的需要(误差分析),引入衡量向量和矩阵大小的度量——∈R,我们定义了绝对值,满足|x|≥0非负性|αx|=|α|·|x|齐次性|x+y|≤|x|+|y|三角不等式类似地,,它使任意X∈Rn有一个非负实数与之对应,记为||X||,且该映射满足:正定性任意X∈Rn,||X||≥0,ifandonlyifX=0时,||X||=0齐次性任意X∈Rn,λ∈R,有||λX||=|λ|·||X||三角不等式任意X,Y∈Rn,有||X+Y||≤||X||+||Y||::设X=(x1,x2,…,xn)T∈:(1)用范数的定义可验证上述皆为向量范数(2)p=1,2,||X||p即为||X||1,||X||2.(3)任意x∈Rn:||•||α和||•||β是Rn上任意两种范数,则存在正常数C1和C2,使得对一切X∈Rn有C1||X||α||X||βC2||X||α注:Rn中范数的等价性表明,虽范数值不同,但考虑到向量序列收敛性时,=(x1,x2,…,xn)T和Y=(y1,y2,…,yn)T则有有解(x1,x2,x3)T=(1,1,1)T,用Gauss消去法得到近似解