肈输油管线的最佳布置方案论文袄编者按:本文对输油管线的铺设问题,建立了非线性规划模型,并用多元函数求极值的方法,,巧妙地借助三角函数相关理论将非线性方程组求解转化为三角函数方程组从而求得最优解的解析表达式;特点之二是通过解析解和数值计算等多种方法进行求解,:本文主要探讨了输油管线的铺设问题,以总费用最低为目标,得到了不同情况下管线铺设的最佳方案针对问题一,建立了一般的管线总费用数学模型。并以定理的形式给出了选择“Y”字型,“V”字型和“厂”字型管线铺设方案的定量依据。在模型求解中,通过多元函数求极值的方法,借助三角函数知识巧妙地将非线性方程组转化为三角函数方程组,得到了问题的解析解,同时还定性给出了简单、直观、实用的管线铺设方案的快速判别法。针对问题二,首先建立了管线铺设总费用的数学模型,先后分别利用多元函数求极值法、Lingno软件和Matlab软件三种方法进行了求解,得到了最优交汇点的坐标、管线铺设最小费用的解析解以及相应的最佳铺设路径,并对所有结果进行了比较和分析。针对问题三,建立了总费用的改进模型,并采用类似的方法得到了问题的解。袀关键词:管线铺设;最优交汇点;非线性规划模型。袆羄薀问题重述(略)莈薅问题分析肄羁该问题实际上是一个非线性优化模型,求解的关键就是要在铁路线上寻找一个车站,同时要确定两炼油厂之间输油管线交汇点的位置,使得管线的总费用最低。肀在问题一中,由于共用管线的费用相同是不同时的一种特例情形,所以我们考虑更加一般的情况,即管线共用费用不同时的最优管线铺设方案和管线最小费用。当铁路为直线时,管线的铺设通常有三种方案:第一种是按“Y”字型方案,第一种是按“V”字型方案,第一种是按“厂”字型方案。每一种铺设方案都存在一个最优铺设方案和最小费用,通过建立管线的总费模型进行求解。蚈在问题二中,求解管线铺设的最优方案及相应的最小费用,关键在于如何确定管线的交汇点M和管线由郊区进入城区时的接入点N的位置。再由N点沿直线到达B厂。这就需要我们再次建立管线总费用模型。借助多元函数求极值的方法理论,进行定量计算。问题二中给出了两个不同资质的三个工程咨询公司的评估结果,这就需要我们对评估结果的可信度进行综合分析,计算出铺设在城区的管线每千米的附加费用,从而问题二得到了解决。肄莂模型假设蒈在问题所研究的范围内,铁路线呈直线状;莇城区管线的铺设费用只包括两部分:其一为铺设管线的费用,其二为拆迁等附加费用,除此之外不再产生其他任何费用,同时材料价格保持不变;膃输油管线接口处的材料浪费忽略不计;螃甲级资质公司的评估报告比乙级资质公司的评估报告可信度高。膀膆符号说明芃:非共用管线段MA和MB铺设费用共用管线段ME铺设费用膄M:管线的交汇点N:郊区与城区的接入点蚈:郊区管线的铺设费用城区管线的铺设费用腿共用管线ME段的铺设费用城区管线NB的铺设费用莃模型的建立与求解芁莀问题一的解决方案羈模型建立蒃由于共用管线费用相同是共用管线费用不相同时的一种特殊情形,所以在问题一的讨论中,我们只需考虑更加一般的情况,及管线共用费用不同时的管线铺设方案和最小费用问题。蚂当铁路为直线的情形时,我们针对最一般的“Y”字型大学铺设方式建立数学模型,其他的几种类型都可以看成是“Y”字型管线铺设方案的特殊情况。如图1所示建立直角坐标系。肂螇薃其中轴表示铁路线,过炼油厂A作垂线交铁路于坐标原点O,,则A点坐标为A(0,n),B厂到铁路线的距离为b千米(不妨设n<b,否则只需要对A厂和B厂的记号即可),A,B两厂之间的直线的距离为p千米,则B厂坐标可表示为,为方便起见,记常数,则B(l,b)。肃假设“Y”字型管线交汇点M的坐标为(x,y),此时M点的坐标必然满足关系式,即使就是说此时M点必然在矩形区域OACD中取得,显然,总费用最小时,共用管线ME必然与铁路线垂直,垂足为E,则E点即为将要增建的车站位置,用表示非共用管线段MA和MB每千米的铺设费用,表示共用管线段ME每千米的铺设费用。蕿问题一中共用管线费用不相同时的总费用模型为。蒅蚃问题一变成了关于x,y的二元函数的极值问题。蒃模型求解芁为了寻找到目标函数S(x,y)的驻点,令薈蚃蚀此方程组为二元非线性方程组,直接求解非常困难,为了便于求解,记,由图1可知,从而可将原方程组转换为等价的三角函数方程组蝿芇螃肁蒁又由于且所以肆膆化简可得蒂,衿再通过线段MA和MB的斜率建立方程组,求解可得唯一驻点为腿芆该点即为总费用最小时的两条管线MA和MB的最优交汇点M.。袃现在讨论“Y”字型铺设方案中b,n,p之间必须满足的条件。由上可知,在“Y”字型管线铺设方案中必有则可得以下结果:
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