蒇一个组合问题的解法及推广芆蚁湖北王启才葿膇问题三个人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到肃甲手中,则不同的传球方式有多少种?羄一般同学解这个问题多用列举法,即把可能出现的传球方式一一列举出来。袈袇甲肅乙膂甲薂乙蚈甲膆丙芀甲肁丙莈甲羃乙薃甲蒁丙膈甲羅乙螁甲袀丙衿甲肆乙肄甲艿丙虿甲解若第一次传给乙,传球方式可能出现袃的情况如右图,经过5次传球后,球仍回到膂甲手中,不同的传球方式有5种;若第一次蝿传给丙,则又有5种;故共有10种不同的肆传球方式。羅下面用递推法解决这个问题。芀设第次将球传给甲的方式有膈种,传次球共有种不同的传法,这袆种传法中,有种传法的第次不羆是传给了甲,而第次没有传给甲时,在第蚃次传球时可传给甲,故第次传给袁甲的传法。薆令,则代入上式,螄并整理得。螁变形得,芁是公比为的等比数列,显然,。莇所以袅得。膃当时,。蚀肇下面将此问题推广到一般情况:袆个人互相传球,(),甲先发球,并作为第一次传球,经过次()传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方法有多少种?节设第次传给甲的方式有种,由前面分析可知。腿令,得,变形得。袇是公比为的等比数列。蚄,显然,蚄所以。得。蕿于是。薈即。螅当时,螃(柯正摘自《数学通讯》2006年1月第1期)
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