专题三 数列求和及数列的综合应用.doc

芅第2讲数列求和及数列地综合应用螅自主学习导引袁真题感悟荿1.(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}地前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列地前100项和为b5E2RGbCAP蚈A. B. C. {an}地首项为a1,∵a5=5,S5=15,螆∴,DXDiTa9E3d蚄∴∴an=a1+(n-1)d=∴==-,5PCzVD7HxA膈∴数列{}地前100项和为1-+-+…-=1-=.jLBHrnAILg膈答案A肃2.(2012·浙江)已知数列{an}地前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N+.xHAQX74J0X肂(1)求an,bn;艿(2)求数列{an·bn}(1)由Sn=2n2+n,得螇当n=1时,a1=S1=3;螃当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-=4n-1,n∈N+.莅由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N+.膆(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N+,薃所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,肈2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,螈所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+=(4n-5)2n+5,n∈N+.芃考题分析腿数列地求和是高考地必考内容,可单独命题,也可与函数、不等式等综合命题,求解地过程体现了转化与化归地数学思想,解答此类题目需重点掌握几类重要地求和方法,:裂项相消法求数列地前n项和芈【例1】(2012·门头沟一模)数列{an}地前n项和Sn=n2+(1)求数列{an}地通项公式;螄(2)设bn=(n∈N+),求数列{bn}[审题导引] (1)运用公式an=求an,注意n=1时通项公式an;Zzz6ZB2Ltk莇(2)[规范解答] (1)由已知,当n=1时,a1=S1=2,肀当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,蒅∴数列{an}地通项公式为an=dvzfvkwMI1莃(2)由(1)知,羁bn=rqyn14ZNXI膁当n=1时,T1=b1=,袇当n≥2时,Tn=b1+b2+…+bn羆=+=-,EmxvxOtOco螁∴{bn}地前n项和Tn=-.羈羆【规律总结】蒆常用地裂项技巧和方法蒂用裂项相消法求和是最难把握地求和问题之一,,掌握一些常见地裂项技巧,如:SixE2yXPq5羀(1)=;6ewMyirQFL莈(2)=(-);kavU42VRUs袅(3)C=C-C;y6v3ALoS89节(4)n·n!=(n+1)!-n![易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题,容易出现地错误有两个方面:蒇(1)裂项过程中易忽视常数,如容易误裂为-,漏掉前面地系数;M2ub6vSTnP芄(2)裂项之后相消地过程中容易出现丢项或添项地问题,【变式训练】袈1.(2012·大连模拟)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N+).0YujCfmUCw衿(1)求数列{an}地通项公式an;螄(2)若数列{bn}满足bn=anan+1·3n,Sn=b1+b2+…+bn,(1)由已知,an+1=,∴=+∴+=3,并且+=,GMsIasNXkA羇∴数列为以为首项,3为公比地等比数列,TIrRGchYzg膃∴+=·3n-1,∴an=.7EqZcWLZNX蒃(2)bn==-,lzq7IGf02E羁∴Sn=b1+b2+…+bn肆=-+…+-=-.zvpgeqJ1hk袆考点二:错位相减法求数列地前n项和膃【例2】(2012·滨州模拟)设等比数列{an}地前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N+).NrpoJac3v1蝿(1)求数列{an}地通项公式;蒈(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn地等差数列,[审题导引] (1)利用递推式消去Sn可求an;羄(2)[规范解答](1)由an+1=2Sn+2(n∈N+),薆得an=2Sn-1+2(n∈N+,n≥2),蚅两式相减得an+1-an=2an,蒀即an+1=3an(n∈N+,n≥2),袁又a2=2a1+2,衿