三角形四心竞赛.doc

膁蒇膄袄膄莁薈芁袈荿薆袃蚅羄三角形四心竞赛讲义芁艿羅肃蚂腿螄一、“四心”分类讨论 1莁莆薇螅蒀肄腿1、外心 1蒁螆蚅芃蒃芀羇2、内心 2薁膇袀羅节螇蚅3、垂心 3蚁薈膁莃羁节袅4、重心 5螀罿羈膅肄膇薂5、外心与内心 6袀膆袂袇螃聿蚀6、重心与内心 6袀薇膆芅薂薆蒅7、外心与垂心 7羀羈蚂羇莁膀蚂8、外心与重心 8肀荿葿蒄莄肆蚀9、垂心与内心 8膀蒅莂膆膂节膀10、垂心、重心、外心 8芀袆薇蚄袁蒅膆旁心 9莀芇膃莆羄聿蚄二、“四心”的联想 9葿蚈羀螄螃袄肂1、由内心、重心性质产生的联想 9葿聿袃袃衿肀蕿2、重心的巧用 11羇薃肈莁蚈薈羆3、三角形“四心”与一组面积公式 12肇羄蚄肃蚁膂螅三角形各心间的联系 15膆莅膆薁蒀羇膁与三角形的心有关的几何命题的证明 16芆螆莄芃腿罿羈芆膇蕿蚁节蒆蚆三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)、难度大、应用的技巧性强、方法灵活,是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型,因此,它是近几年来升学、、93、94、,以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法,、“四心”分类讨论蒆螅蚇膄螀袆蒃1、外心薆膅袅薂薈肂莈三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心,即外接圆圆心.△ABC的外心一般用字母O表示,它具有如下性质:蚆薆聿芄薁芅莇(1)外心到三顶点等距,即OA=OB=(2)∠A=.袅肄膈蒄腿螄蚁如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心,与外心有关的几何定理,尤其是圆周角与圆心角关系定理,,:△ABC中,XX′,YY′,ZZ′分别是BC,AC,AB边的垂直平分线,求证:XX′,YY′,ZZ′相交于一点(图3-111).荿芇袂肂蚀羂蚅葿蒄虿螃蒈袇螀分析先证XX′,YY′交于一点O,再证O点必在ZZ′′,YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线,所以XX′,YY′必相交于一点,设为O(否则,XX′∥YY′,那么∠C必等于180°,这是不可能的).因为OB=OC,OC=OA,所以OB=OA,所以O点必在AB的垂直平分线ZZ′上,所以XX′,YY′,ZZ′△ABC的三个顶点A,B,C距离相等,所以以O点为圆心,以OA长为半径作圆,此圆必过A,B,C三点,所以称此圆为三角形的外接圆,、如图9-1所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与点A、P、、O是外心,作△ABC的外接圆⊙O,并作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、=OF,BE=AF,从而Rt△OPF≌Rt△OQE,于是∠P=∠Q,从而O、A、P、、延长BA至G,使AG=AP,连接OP、OA、OG、OQ,并作OE⊥AB于E(图略).利用△PAO≌△PGO和△QEO≌△、如图9-2所示,在△ABC的大边AB上取AN=AC,BM=BC,点P为△ABC的内心,求证:∠MPN=∠A+∠、连接PA、PB、PC及PM、△APC≌△APN,△BPC≌△△PC=PN,PC=PM,即PM=PN=△CMN的外心,此时有∠MPN=2∠∠CAN=90º-∠A,∠BCM=90º-∠B,膈蒃薄芄膀螁荿故∠ACN+∠BCM=180º-(∠A+∠B),即∠MCN+∠ACB=180º-(∠A+∠B),芈袄螈蚂罿羄肄则∠MCN=(180º-∠ACB)-(∠A+∠B)=(∠A+∠B).莈芅芄莄螈螂薅故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠、AB为半圆O的直径,其弦AF、BE相交于Q,过E、F分别作半圆的切线得交点P,求证:PQ⊥、延长EP到K,使PK=PE,连KF、AE、EF、BF,直线PQ交AB于H(图9-3).蚇芄艿羂艿肇袅因∠EQF=∠AQB=(90º-∠1)+(90º+∠2)=∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP,又由PK=PE=PF知∠K=∠PFK,故∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK=180º,从而E、Q、F、=PF=PE知,P为△EFK的外心,显然PQ=PE=