江苏省扬州市2014届高三上学期期中考试数学试题.doc

江苏省扬州市2014届高三上学期期中考试数学试题
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
.
“”的否定是.
,且,则实数.
,若,则
.
,且,则.
,满足,则目标函数的最小值为.
,若函数的零点所在的区间为,则
.
,则.
,且它的值域为,则
.
,相邻切点之间的距离为.
若点是图象的一个对称中心,且, 则.
,点为其短轴的一个端点,若的中点在椭圆上,则椭圆的离心率为.
,若,且,则的最小值为.
13. 已知向量,满足,,,
,若,则所有可能的值为.
,轴正半轴分别交于点,当取最小值时,切线在轴上的截距为.
二、解答题:(本大题共6道题,、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分14分)已知集合,.
(1)若,求集合;
(2)若,求实数的取值范围.
16.(本题满分14分)在中,分别为角所对的边,已知向量,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的值.
17.(本小题满分15分)在平面直角坐标系中,已知圆:,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点,线段的中点为。
(1)求的取值范围;
(2)若,求的值。
18.(本小题满分15分)某小区有一块三角形空地,如图△ABC,其中AC=180米,BC=90米,∠C=,开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所,在△ABC内的P点处有一服务站(其大小可忽略不计),开发商打算在AC边上选一点D,然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E,在△ADE区域内绿化,,=米,试问取何值时,运动场所面积最大?
19.(本小题满分16分)如图,椭圆:()和圆:,已知圆将椭圆的长轴三等分,椭圆右焦点到右准线的距离为,椭圆的下顶点为,过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.
①求证:直线经过一定点;
y
②试问:是否存在以为圆心,为半径的圆,使得直线和直线都与圆相交?若存在,请求出所有的值;若不存在,请说明理由。
20.(本小题满分16分)已知函数,其中为实常数.
(1)若在上恒成立,求的取值范围;
(2)已知,是函数图象上两点,若在点处的两条切线相互平行,求这两条切线间距离的最大值;
(3)设定义在区间上的函数在点处的切线方程为,当时,若在上恒成立,则称点为函数的“好点”.试问函数是否存在“好点”.若存在,请求出所有“好点”坐标,若不存在,请说明理由.
第二部分(加试部分)
(总分40分,加试时间30分钟)
注意事项:
答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、,在其它地方答题无效.
21.(本题满分10分)
已知矩阵的一个特征值是,求矩阵的另一个特征值,及属于的一个特征向量。
22.(本题满分10分)
已知的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之比为:.
(1)求的值;
(2)求展开式中的常数项(用组合数表示)。
23.(本题满分10分)
一个盒子中装有5张相同的卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是,现从盒子中随机抽取卡片。
(1)若从盒子中有放回的抽取次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率;
(2)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当抽到记有奇数的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数的概率分布列和数学期望。
24.(本题满分10分)
在平面直角坐标系中,已知点,是动点,且的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)点在直线,过作(1)中轨迹的两切线,切点分别为,若是直角三角形,求点的坐标。
参考答案
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、1 8、1
9、 10、 11、 12、2
13、0、2 14、
解析:设直线与坐标轴的交点分别为,,显然,.
则直线:,依题意:,即,所以,
所以,设,
则
设,则,,,
又,故当时,单调递减;当时,单调递增;
所以当,时,有最小值.
15、(1)由得
即, 2分
当时,由得或 4分
所以 7分
(2)由得或
即 9分
因