经典截长补短法巧解.doc

截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法:(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。……补短法(1)延长短边。(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例:在正方形ABCD中,DE=DF,DGCE,交CA于G,GHAF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG,GH,CH的数量关系方法一(好想不好证)方法二(好证不好想)例题不详解。(第2页题目答案见第3、4页)(1)正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAF=45。求证:EF=DE+BF(1)变形a正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?(1)变形b正方形ABCD中,点E在DC延长线上,点F在CB延长线上,EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?(1)变形c正三角形ABC中,E在AB上,F在AC上EDF=45。DB=DC,BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系?(1)变形d正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAD=15,FAB=30。AD=求AEF的面积(1)解:(简单思路)延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF(SAS)GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF(SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解:(简单思路)EF=BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90AD=AB又DE=BG所以ADEABG(SAS)EAD=GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90-45=45GAF=EAF=45又AG=AEAF=AF所以EAFGAF(SAS)EF=GF=BF-BG=BF-DE变形b解:(简单思路)EF=DE-BF在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF(SAS)GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF(SAS)EF=EG=ED-GD=DE-BF变形c解:(简单思路)EF=BE+FC延长AC到点G,使得CG=BE,连接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=60又DB=DC,BDC=120所以DBC=DCB=30DBE=ABC+DBC=60+30=90ACD=ACB+DCB=60+30=90所以GCD=180-ACD=90DBE=DCG=90又DB=DC,BE=CG所以DBEDCG(SAS)EDB=GDCDE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDF=12