复合函数的单调性例讲.doc

袇复合函数的单调性例讲羆山西忻州五寨一中摄爱忠薄羀芈莄芃高考主要考查:①求复合函数的单调区间;②①“中间变量”是形成问题转化的桥梁.②:腿设定义域为A,的值域为B,若,则关于的函数叫做函数与的复合函数,:;内函数:薄复合函数的单调性::芃(1)求复合函数定义域;虿(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);羇(3)判断每个常见函数的单调性;莇(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;羂(5)求出复合函数的单调性。肃题型1::螅◇已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是()肅(A).(0,1)(B).(1,2)(C).(0,2)(D).2,+∞)膃解:设y=logau,u=2-ax,∵a是底数,所以a>0,蝿∵函数y=logau在u∈[0,1]上是减函数,而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数,蒇∴y=logau是u∈(0,+∞)上的增函数,故a>1,还要使2-ax>0在区间上总成立,螄令g(x)=2-ax,由{,解得a<2,∴1<a<2,故选(B).节变式训练:膀已知函数,【分析】:由,得,,函数在上是减函数,::莂◇求函数y=(x2+4x+3):令y=,u=x2+4x+3,由x2+4x+3>0知函数的定义域为,蚈因y=∈(0,+∞)上是减函数,而u=x2+4x+4在x∈(-∞,-3)上是减函数,膅在(-1,+∞)上是增函数,根据复合规律知,莅函数y=(x2+4x+4)在x∈(-∞,-3)上是增函数;在x∈(-1,+∞):聿◇讨论函数的单调性。袆解:=x2-4x+3,y=。膄指数函数在u∈(-∞,+∞)上是减函数,薂u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,葿∴函数在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。芄这里没有第四步,因为中间变量允许的取值范围是R,无需转化为自变量的取值范围。袂题型3::蚆◇函数y=2sin(-2x)的单调递增区间是()肆(A).(B).(C).(D).蚁解:令y=sinu,u=-2x,∵u=-2x是R上的减函数,而y=sinu在u∈[2kπ+,2kπ+]螂(k∈Z)上单调递减,肇根据函数单调性的复合规律,令2kπ+≤-2x≤2kπ+得:蒄当k=0时,,故选(A).蚄例题4:螁◇讨论函数y=(log2x)2+:显然函数定义域为(0,+∞).令u=log2x,y=u2+u蒃∵u=log2x在(0,+∞)上是增函数,袁y=u2+u在(-∞,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数衿【注意】:(-∞,]及[,+∞),则0<x≤,节(u≥log2x≥x≥)羁所以y=(log2x)2+log2x在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数。芀用数轴标单调区间如下:莆芅肁莇肈肄膁螈薅袃葿莆 ①求复合函数的定义域;②求内函数在定义域内的单调区间;③求外函数的单调蒅区间;④求外函数对内函数变量所对应的单调区间;⑤在数轴上标出②④按“同增异减”:袂◇【解析】(1)此函数的定义域:;羄(2)此函数是由函数复合所得;蚅(3)内层函数的单调区间:函数在单调递减;薁(4)外层函数的单调区间:函数在单调递减,单调递增;蚈(5)根据复合函数的单调性规律,写出复合函数的单调区间:函数在单调递增;【评注】:给出复合函数的单调区间,必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围,◇函数的单调递减区间是;::螅◇已知函数则莃(A)在区间上是减函数(B)在区间上是减函数袈(C)在区间上是增函数(D)在区间上是增函数膇【解析】设,,节外函数:增区间;减区间;膂内函数:增区间;减区间羈当时,,即<1,x>1或x<-1;薈当时,即≥1,-1≤x≤1羄用数轴标出单调区间如下:羀肈显然,