力学量的算符表示.doc

、满足条件,蕿求证:,羇,羅[证]利用条件,以左乘之得羃则有薂最后得。肇再以左乘上式得莅,即蒁则有莀最后得膇应用数学归纳法可以证明:螆先设成立,[证]应用及,,蚀求证:罿其中,荿[证]方法一:把直接展开,比较系数法。羄而螀…………莀因此,把展开式的的同次幂的系数合并之后,我们容易得到:螇方法二:定义算符螃其中S是辅助参数。则算符对S的微商给出袀…………螁取,得葿将展开为麦克劳林级数螆按定义,,,但,向:袈(1)是否厄密算符?羇(2)是否厄密算符?薅[解]利用厄密算符具有的性质肀及艿(1)令蚈则芃当时,,故不是厄密算符。莄(2)因,故虿因此是厄密算符。膆例如,和都是厄密算符,且,所以不是厄密算符,事实上显然不可能是厄密的。莆但是在中,把它改写为蒄,显然左方是厄密算符。,而算符,求证:。肆[证]。,并进一步用数学归纳法证明力学量所对应的算符是。螁[证]先证明一维情况,按定义虿而,蒄,肂利用恒等式袁故螆由于:膆故袁同理袁故芇对于,可先设成立,然后写出的表示式,进行一次分部积分后,:袄并由此推出、、分别与的对易关系。羁[解],,蚈且莅以及之间均可对易。蚃故肁同理聿同理可证,对于分别有袃,,蒁及,,膁一般地,我们可以将上述各式合并写为:膅其中为循环指标,。芁[解]薆同理可证:羃,芃,莁一般地,,螅其中羂求蒀[解]。莈利用第二章第3题的结果,我们知道是已归一化了的,故膃同理,螁注意到一维情况下,只须考虑,因此蒀最后得蝿讨论:①通过上面的计算看到,在一维谐振子的特殊情况下,其结论与测不准关系袅一致。螄②的结论,可以从动量几率分布函数得出,利用第二章第3题的结果,处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为薀,袆它是的偶函数,,这从物理上看是很清楚的。这种对称性(坐标空间和动量空间)是一维谐振子的主要特征之一。薇③也可以从动量空间中求平均而得到。薃在以为自变量的表示式中,一维谐振子的薛定谔方程为蚀,芇令代入上式可得肄在以为自变量的表示式中,考虑到算符,故薛定谔方程为莂同理可令,于是有螀显然的解只须在中以代替即得:蚇而螆故肀和上面得出的结果一致。,芄求膃[解]由第二章第1题知归一化系数为羀在上面的计算中利用了积分公式芅最后得羆讨论:①,满足测不佳关系。羂②用及求得的结果也和上面的结果一致。肀显然,在已知的情况下,把用算符代替,直接用坐标几率分布函数表计算或,比先由求动量几率分布函数,再由蚆来或简单得多,由此可见,力学量用算符表示,非但有深刻的物理意义,而且也给计算带来方便。莄③在第四章将看到,一个力学量,不管用作自变数,还是用或其它量作自变数,计算出来的平均值都相同。从物理上看来,这也是明显的,因为平均值正是实验测量的值,它不应当和计算方法有关。;并证明:聿[解](1)先证明两个普遍的关系:肇可以用两种方法来证明。膆(a)从角动量算符所满足的对易关系出发:螄或腿由一式与二式乘i后相加减可得:蒈或薄用算符对运算得:蒃另外,注意到和均可对易,故有:艿所以肃从上面二式可见既是的本征函数,本征值为,又是的本征函数,本征值为,亦即,具有的形式。薀令薆它的共轭复式是蚃二式相乘,对积分,再注意到的正交性,得:芀(b)用直接求微分的方法证明肇而;芅其中螃故蚁同样,对也有蝿其中莈可证明如下:螃因为勒襄德多项式满足方程肁对上式求微商次后得到膇或肆故有袃(2)现在来求和蒂注意到的正交性,亦即衿令袅同理可知