微积分知识在生活中应用.docx

微积分知识在生活中应用.docx微积分知识在生活中应用摘要:围绕中值定理、函数的连续性、微分概念、重要极限、夹逼准则、弹性、拐点、极值等有关知识,探讨微积分知识在实际生活中的广泛应用,进一步揭示微积分与实际生活的密切联系,为应用微积分知识解决实际问题,建立数学模型,奠定了一定的理论基础。关键词:微积分;生活;应用中图分类号:C93文献标志码:A文章编号:1673-291X(2013)30-0235-02一、 中值定理在生活中的应用[问题]如果你驾车在一条限速为100公里/小时的公路上行驶,监控仪证明你在半个小时内跑了60公里,那么警察会给你开一张超速罚单吗?[预备知识]拉格朗日中值定理:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导。结论:在(a,b)内至少存在一点2(a100公里/小时,也就是超速了。二、 函数连续性在生活中的应用[问题]人的相貌在一分钟内看不出有什么区别,但从孩童到老年相貌却差异很大,怎么解释这一现象呢?[预备知识]设函数f(x)在(x0)内有定义,如果当自变量的增量Ax趋向于零时,对应于函数的增量Ay也趋向于零,即△y=0。[应用]人的生长是连续的,在一分钟内也就是自变量的改变很小时,人的相貌也就是函数的改变量也会很小。客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的,而且其运动变化的过程往往是连绵不断的,比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等,这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性。三、微分概念在生活中的应用[问题]地球形状明明是圆的,为什么古时候的人们以为地球是方的?[预备知识]如果函数z二f(x,y)在点(x,y)的全增量△z二f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)可以表示为Az=AAx+BAy+o(P),其中A,B不依赖于Ax,Ay而仅与x,y有关,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记为dz,dz=A△x+B△yo[应用]根据全微分定义,有Az^dz即△zafx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay,即全微分的几何意义是:微分是实现增量线性化的一种数学模型,即微分函数的实质:局部像个平面。当可微函数的自变量改变很小时,函数增量可以近似看作一个二维线性函数一一平面。所以古时候在人的肉眼范围内(自变量改变很小),人们认为函数的增量 地球表面是平的。四、 重要极限在生活中的应用[问题]要洗一件衣服,先用水和洗涤剂把衣服洗涤,拧一下,然后再把衣服漂清。由于不能拧得干干净净,衣服上仍带有含污物的的水。设衣服上残存的污物量为mO(包括洗涤剂),残存水量为w,我们还有一桶清水,水量为A。问怎样合理地使用这一桶清水,尽可能地把衣服洗干净?还有衣服能彻底洗干净吗?[预备知识]重要极限:l+x=e[应用]假设把一桶水分成n次使用,每次用量分别为al,a2,•••an,用mi(i=0,1,2,…n)表示第i次洗涤后衣服上残留的污物量。那么二,则n次洗涤后衣服上残存的污物量为mn二,由于mnW{[(1+)+(1+)+•••+(1+)]}n=(1+)n,因此把水量等分,可以使污物的残余量最少,而且分的次数越多,洗的越干净。但残留物不会完全没有,因为利用重要极限(1+)n=e,即n趋于无穷大时,污物量趋于e。五、 极限夹逼准则在生活中的应用[问题]同学们在上完最后一节课后,肚子饿得直响,迫