数值分析.doc

莃数值分析实验报告蒈求非线性方程的解蒅姓名:李伟薄学号:肂班级:11级统计二班薇摘要袆报告主要介绍求非线性方程解的几种方法,主要有对分法,牛顿法,割线法等,并且分析每种方法的原理及实现方法。这里通过对进行五种方法的数值试验,对几种迭代法的运算量,空间存储使用,迭代步数进行了初步分析评价,并对几种迭代法分别适用于求解何种类型的非线性方程进行了简要分析说明。(报告中使用matlab软件进行编写代码运算的)[a,b]上的连续函数,且,则在内至少有一个零点。因为,所以函数在区间上改变符号,因此它在这个区间内至少存在一个零点。这是中值定理的结论,因此利用区间减半的方法对这一数值计算思想进行实践运算。,且,则在内至少有一个零点。设若是区间上的连续函数,且,,则,否则,,,若,则可知零点在上,通过不断运算可以得到近似解。蚀f=inline(‘x^3-3*x-1’);螇a=1;蚈b=2;莆dlt=*-12;蚃k=1;袇whileabs(b-a)>dlt螅c=a+(b-a)/2;袄iff(c)==0蒂break;羇elseiff(c)*f(b)<0膆a=c;薅elseb=c;芀end葿fprintf(‘k=%d,x=%.5f\n’,k,c);螄k=k+1;,对分法经多次迭代后,能达到比较好的精度,但是当所求非线性方程比较复杂时,且估计范围比较宽泛时,对分法需要经过迭代的次数就会过多,无论是计算量还是在储存空间上都会有比较大的耗费。但是对分法易于理解适用范围广泛。。特别的,当它用来求事变函数的解时,常常被称为牛顿---拉弗森迭代。由于牛顿法的收敛是二次的,所以通常牛顿法比对分法和割线法要快。一旦二次收敛有效时,牛顿法序列得值能充分地接近根,所以在实际中通常与其他较慢的方法结合计算非线性方程的解。薆假设我们有一个函数,其零点由数值计算得出。设是的零点,而是的一个近似。若存在并且连续,则由泰勒定理,得莁其中,若较小(即在附近),则有理由略去项,并且在余下的方程中求,其结果是罿若是的一个近似,则应该是的一个更好的近似。牛顿从的一个估计开始,然后归纳定义螈算法描述螃用牛顿法求方程在在附近的根,已知根的准确值为通过牛顿迭代计算方程的根。取初始迭代值为2,精确度取。=inline(‘x^3-3*x-1’);袈df=inline(‘3*x^2-3’);膄d2f=inline(‘6*x’);薁a=1;螁b=2;袈dlt=*-8;薅iff(a)*d2f(a)>0节x0=a;薀else节x0=b;膀end羄m=min(abs(df(a)),abs(df(b)));薂k=0;莂whileabs(f(x0))>m*dlt莆k=k+1;螆x1=x0-f(x0)/df(x0);莁x0=x1;蒂fprintf(‘k=%dx=%.5f\n’,k,x0);,因此用牛顿迭代法求解非线性方程的解,迭代次数较小,能以较少的计算量和较少的运算空间求出比较精确的解,但是求导非线性方程必须有导函数,所以适用范围较小,只能对一阶可导的方程进行迭代。,都是运用切线与坐标轴相交进行迭代运算,不同的是简易牛顿法在进行迭代运算时只取用了初始值的导函数值,使得算法整体运算量相对较小。,=inline(‘x^3-3*x-1’);羁df=inline(‘3*x^2-3’);衿d2f=inline(‘6*x’);羇a=1;芁b=2;肁dlt=*-8;艿iff(a)*d2f(a)>0蒅x0=a;莄else