高等数学中的相关知识点.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse螃高等数学中的相关知识点蚂其它常见初等函数(请大家自己画出图象,并分析性质)肈1、取整函数:y=[x](不超过x的最大整数称为x的整数部分)袆1(x>0)薄2、符号函数:y=sgnx=0(x=0)蚄-1(x<0)莀3、双曲正弦:y=4、双曲余弦:y=芅5、“钩钩“函数:y=(a>0)6、“H”函数:y=(a>0)芄7、平移后的反比例函数:y=()(思考:什么条件下它和反函数相同?)蒁二、闭区间上连续函数的性质葿1、最大值和最小值定理:在闭区间上的连续函数,在该区间上一定有最大值和最小值。羈2、有界性定理:在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。肄3、零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,即f(a)·f(b)<0,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0。薃4、介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则对于f(a)和f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C。袁例:求证方程在(0,1)上至少有一个实数根。蒈三、隐函数求导螅利用隐函数求导,可以得到过圆锥曲线上任意一点(x0,y0)的切线方程:莀1、过椭圆上任意一点(x0,y0)的切线方程为:;罿2、过双曲线上任意一点(x0,y0)的切线方程为:;袇3、过抛物线上任意一点(x0,y0)的切线方程为:薅四、微分在近似计算中的应用莁如果函数f(x)在点x0处的导数f(x0)≠0,且|Δx|很小时,有肈Δy≈f’(x0)·Δx芇也可写为:f(x0+Δx)≈f(x0)+f’(x0)·Δx芆一个半径为1厘米的铁球,,。问需要多少质量的铜?(×=)蒃计算sin30º30′的近似值。()蒀五、拉格郎日中值定理蚆定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得等式f(b)-f(a)=fˊ(ξ)·(b-a)成立。肆例:求证:当x>0时,<ln(1+x)<x。芀证明:设f(x)=ln(1+x),则f(x)在区间[0,x]上连续,在区间(0,x)上可导,根据拉格郎日中值定理,有:蕿f(x)-f(0)=fˊ(ξ)·(x-0),0<ξ<x,膅因为f(0)=0,fˊ(x)=,所以上式可写为螆ln(1+x)=·x莁又因为0<ξ<x,所以:<<x,即<ln(1+x)<x。羁六、函数的凹凸性衿1、定义:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,如果对于区间[a,b]内任意两点X1,X2,恒有芃(1)<,则函数图象是凹的,函数f(x)叫凹函数;莃(2)>,则函数图象是凸的,函数f(x)叫凸函数。聿3、定理:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内有一阶导数和二阶导数,那么芈(1)若在区间(a,b)内,二阶导数f″(x)>0,则函数f(x)是凹函数;羃(2)若在区间(a,b)内,二阶导数f″(x)<0,则函数f(x)是凸函数。膀七、向量的向量积膈两个向量a和b的向量积也是一个向量,记作a×b,它的模为:蚇∣a×b∣=∣a∣