利息理论及其应用
2004 年 2 月 6 月
主讲黄海
北京大学金融数学系利息理论与应用第1章— 1
第一章利息基本计算
利息基本函数
v 利息是借贷关系中借款人(borrower)为取得资金使
用权而支付给贷款人(lender)的报酬
v 从投资的角度看利息是一定量的资本经过一段时
间的投资后产生的价值增值
例在银行开立储蓄帐户把平时积累下来的多余钱
存入银行可视为投资一定数量的钱款以产生投资收
益——利息
例购买国库券
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累积函数(accumulation function)
本金(principal) 初始投资的资本金额
累积值(accumulated value) 过一定时期后收到
的总金额
利息(interest) 累积值与本金之间的金额差值
假设在初始时刻 0 投资了 1 个单位的本金则在时
刻 t 的累积值记为a(t) 称为累积函数
注时间 t 为从投资之日算起的时间可以用不同的
单位来度量
1 单位的本金累积值 a(t)
0 t 时间 t
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累积函数 a(t) 是关于时间的函数满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增
即当 t1 < t2 时有 a(t1) < a(t2)
如果在 t = 0 1 2 …等时刻观察累积函数a(t)得
到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) …那么在时刻
0 1 2 …之间累积函数 a(t)的取值是如何变化的
v 离散型利息是跳跃产生的
v 连续型利息是连续产生的
注C 一般的利息被认为是连续产生的
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例考虑以下 3 类特殊的累积函数a(t)
1 常数(系列 1)
a(t) = 1
2 线性(系列 2)
a(t) = 1 + % t
3 指数(系列 3)
a(t) = (1 + %)t
注C 检查上面定义的 a(t)满足累积函数的要求
注C 学习使用 Excel 进行金融计算
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t
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几种累积函数的比较
1
2
累积值 3
时间
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总量函数 amount function
当原始投资不是 1 个单位的本金而是 P 个单位金
额的本金时则把 P 个单位金额本金的原始投资在时
刻 t 的累积值记为A(t) 称为总量函数
总量函数 A(t)具有如下的性质
1) A(0) = P
2) A(t) = P a(t) P > 0 t 0
注C 总量函数 A(t)的计算可以借助于累积函数 a(t)
的计算
注C 从总量函数可得累积函数为
a(t)= A(t) / A(0) t 0
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利息 interest
将从投资之日算起的第n 个时期内所获得的利息金
额记为 In 则有
In =A(n)An(1) 对于整数 n 1
注C 利息金额 In 看作是在整个时期内所产生的在
最后时刻实现的支付的得到的
注C 更一般的记总量函数 A(t)在时间段[t1,t2]内所
获得的利息金额为I 则有
tt12,
I=>A(t)At()0
tt12,21
其中 t2 > t1 0
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利率(interest rate)
思考假设两个储户分别在银行存入了 1 万元 1
千元的一年期定期储蓄如果到期后银行都付给他们
同样的利息金额 20 元你认为合理吗
注C 假设所有的在期初投资的1个单位的本金都具有
着同样的产生利息的能力则上述现象不合理
为了表示单位货币价值的相对变化幅度度量利息
的常用方法是计算所谓的利率定义为
利率等于一定的货币
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