哈工大-数值分析上机实验分析方案.doc

腿实验报告一薅莅题目:非线性方程求解螀薈摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。芆蒆前言:(目的和意义)膃掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。芁肆数学原理:芃对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。芁对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*,取区间中点c,若,则c恰为其根,否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个,从而得出新区间,仍称为[a,b]。重复运行计算,直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。螁Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式螇芅产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为蚃膀其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。薇莆程序设计:螂本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下蕿functiony=f(x);芇y=-x*x-sin(x);膄写成如上形式即可,下面给出主程序。肄二分法源程序:罿clc羈clear膅%%%给定求解区间节a=1;蒈b=2;螈%%%误差芆R=1;莁k=0;%迭代次数初值膂while(abs(R))>5e-6);葿c=(a+b)/2;肄iff(a)*f(c)>0;蚃a=c;薁else艿b=c;肅end袂R=b-a;%求出误差羀k=k+1;螅end膆fprintf('二分法求解的根x=%f\n迭代次数k=%d\n误差R=%f',c,k,R);膄Newton法及改进的Newton法源程序:莀clc蒆clear羄%%%%输入函数节f=input('请输入需要求解函数>>','s')衿%%%求解f(x)的导数膆df=diff(f);肅%%%改进常数蒁miu=1;芈%%%初始值x0羆x0=input('inputinitialvaluex0>>');肇k=0;%迭代次数螃max=100;%最大迭代次数蚈R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0),以确定初值x0时否就是解蚇while(abs(R)>1e-8)袄x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));袁R=x1-x0;莁x0=x1;蒇k=k+1;羅if(abs(eval(subs(f,'x0','x')))<1e-10);芄break螁end膈ifk>max;%如果迭代次数大于给定值,认为迭代不收敛,重新输入初值螃ss=input('mayberesultiserror,chooseanewx0,y/n?>>','s');莂ifstrcmp(ss,'y')芀x0=input('inputinitialvaluex0>>');羈k=0;螄else蒁break虿end蚈end袅end袃fprintf('牛顿法求得的根x=%.15d\n迭代次数k=%d\n误差R=%.15f',x0,k,R);聿结果分析和讨论:荿用二分法计算方程在[1,2]内的根。(,下同)蚃计算结果为羁二分法求解的根x=;薈误差R=;腿迭代次数k=18;蚄由f(x)知结果满足要求,但迭代次数比较多,方法收敛速度比较慢。莄用二分法计算方程在[1,]内的根。芁计算结果为蚅x=;螆f(x)=-006;蒂k=17;蚁由f(x)知结果满足要求,但迭代次数还是比较多。莆用Newton法求解下列方程薃x0=;薀计算结果为肀x=;膆f(x)=-016;蚄k=4;羃由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。蒀x0=1;袆x0=,x0=;蚆当x0=,计算结果为肁x=;罿f(x)=--014;薇k=4;蒃由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快,实际上该方程确实有真解x=。蒄当x0=,计算结果为莈x=;莇f(x)=0;薄k=9;薂由f(x)知结果满足要求,实际上该方程确实有真解x=,但迭代次数增多,实际上当取x0〉,x≈1,就变成了方程的另一个解,这说明Newton法收敛与初值