高等数值分析插值.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse薀四边形八节点单元二维插值函数及导数积分公式羆膆设有矩形单元1234,边长是2a,2b,为使推导简便,以平行于两边的轴为x轴和y轴,矩形单元的中心坐标为芄羀引入局部坐标系ξ,η,可使结果简洁,局部坐标原点取在矩形形心,进行坐标变换蚈羅对于8节点矩形单元,其自由度为,因此位移函数选为:莄莁通过将9节点的矩形单元消去第9个节点,即在其双二次多项式的形状函数中去掉项,就可得到8节点矩形单元的不完全双二次多项式形状函数,公式如下:膆螄蒄蒈矩形单元应变列阵为袈蒃其中薃衿所以芆薆将(i=1,m=8),代入上式得蚃芀其中,肈芅螃当i=1,2,3,4时,蚁当i=5,6时,蒆当i=7,8,肄牛顿插值公式在低次时(如二次插值)与拉格朗日插值公式的异同螃螈(1)Lagrange插值多项式膈,公式(1)袃其中公式(2)袃上式满足插值条件的次数不超过n的多项式。腿Lagrange插值多项式存在一个主要缺陷,即当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后,又获得了新的数据点,但是要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式,从原有已计算出的n次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式是很困难的,必须全部重新计算。蚅(2)Newton插值多项式袅在Lagrange插值多项式的基础上作如下处理:羃,公式(3)蕿若记,公式(4)莇则得到公式(5)蚄上式即为Newton插值多项式。它可由较低次插值多项式计算出增加一个插值点的插值多项式,而不需要像Lagrange插值多项式那样重新构建数据点进行计算。肃由公式(5)可以看出,计算Newton插值多项式的关键在与计算,由于还是k次多项式,将其代入到公式(5)可得羀公式(6)袅这样再根据插值条件得莃公式(7)膃莁推导计算得:薇蒆公式(7)节在上式中被定义为k阶差商,这样就得到另一个形式的Newton插值多项式,以符号Nn(x)记为薈公式(8)肁只要计算出各阶差商,就可获得Newton插值多项式。羇(3)两种插值多项式计算方法的比较膅Lagrange插值多项式的计算方法相对简单,通过构建数据点即可求得多项式,但是当数据点增加时,就必须把这些新数据点连同原有的数据点一起重新计算插值多项式,影响了计算效率;Newton插值多项式对Lagrange插值多项式进行了改进,计算方法略为复杂,但由于添加了差商和差商表的概念,在增加一个数据点时,可轻易计算出包含新数据点的插值多项式,只要在公式(8)中增加一项即可。总体来说,在数据点数量不变或变动较小以及对数据点变化规律未知的场合比较适合选用Lagrange插值多项式,而在经常更新数据点数量以及对数据点变化规律已知的的场合比较适用Newton插值多项式。螁葿数据插值螆一维数据插值膄膂命令芁interp1薅功能芄对一维函数进行内插值。薃格式虿yi=inerp1(x,y,xi)薈%返回插值向量yi,每一元素对应于参量xi,同时由向量x与y的内插值决定。莄应用实例蚀对曲线的插值。莁x=0:10;%X坐标值向量莇y=x.*sin(x);%Y坐标值向量蒄xx=0::10;%插值后的X坐标值向量肁yy=interp1(x,y,xx);%插值后的Y坐标值向量袈plot(x,y,'kd',xx,yy)膆薄。插值前的数据点蒁—插值后的曲线薀膈二维数据插值蚄命令袂Interp2肈功能羇高维插值的一种,主要应用于图像处理和数据可视化,其基本思路与一位插值大体相同,它是对两个变量的函数进行插值。螄格式芃zi=inerp2(x,y,z,xi,yi)螀%返回在插值向量xi、yi处的函数值向量,它是根据向量x、y与z插值而来。蚆应用实例螃[X,Y]=meshgrid(-3::3);%插值前的X,Y向量蒀Z=peaks(X,Y);%插值前的Z向量膈[X1,Y1]=meshgrid(-3::3);%插值后的X,Y向量蒅Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1)%插值后的Z向量袃surfl(X,Y,Z);holdon;%绘制曲面袁axis([-33-33-520]);%调节X,Y,Z三个坐标轴的量程袀三维数据插值命令Interp3功能对三个变量的函数进行插值,格式vi=inerp3(x,y,z,xi,yi)%返回三维函数v在插值向量xi、yi、zi处的函数值向量。应用实例[x,y,z,v]=flow(10)%插值前的x,y,z,v[xi,yi,zi]=meshgrid(::10,-3::3,-3::3);%插值后的xi,yi,zivi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi);%插值后的vislice(xi,yi,zi,vi,[],2,[-2,])