双曲线的概念及性质.doc

双曲线的概念及性质一,定义:平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的轨迹问题:(1)平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(等于|F1F2|)的轨迹是什么?(2)平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(大于|F1F2|)的轨迹是什么?(3)若a=0,动点M的是轨迹什么?①当||MF1|-|MF2||=2a<|F1F2|时,M点轨迹是双曲线(其中当|MF1|-|MF2|=2a时,M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支;当|MF2|-|MF1|=2a时,M点轨迹是双曲线中靠近F1的一支);②当||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|时,M点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。③当||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|时,M点的轨迹不存在。④当||MF1|-|MF2||=2a=0时,M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。二,双曲线的标准方程首先建立起适当的直角坐标系,以所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,根据定义可以得到:化简此方程得,令得:,其中为左焦点,为右焦点思考:若焦点落在Y轴上的时候,其标准方程又是怎样的?三,双曲线的性质以双曲线标准方程,:观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围:,当时,y才有实数值;对于y的任何值,x都有实数值这说明从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,:双曲线不封闭,但仍具三个对称性,:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点,令得,因此双曲线和轴有两个交点,它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长,它的长是2a,a叫半实轴长但y轴上的两个特殊点,在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴,它的长是2b,b叫做虚半轴长实轴:长为2a,:长为2b,:经过作轴、轴的平行线,围成一个矩形,:如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时,点到该直线的距离无限接近于零,则这条直线叫这一曲线的渐近线;直线与双曲线在无穷远处是否相交?求法:在方程中,令右边为零,则,得渐近线方程即;若方程为,:,(一)等轴双曲线1、定义:若a=b即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程:、等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直..3)等轴双曲线方程可以设为:,当时交点在轴,当时焦点在轴上.(二)共轭双曲线1、定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,、方程:(1)的共轭双曲线为;的共轭双曲线为;(2)互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;3、性质:有一对共同的渐近线;有相同的焦距,四焦点共圆;4、注意:(1)共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线,如和;(2)与(a≠b)不共渐近线,有相同的焦距,四焦点共圆;(三)共渐近线的双曲线系方程问题(1)与;(2)与的区别?问题:共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征?双曲线()与双曲线有共同的渐近线.