2012-2013学年高二数学第一学期 能力训练(8).doc

数学能力训练(8)
1、(10分)已知函数.
(I)求曲线在点处的切线方程;
(II)当时,求函数的单调区间.
2、(12分)已知梯形中,∥,,,、分别是、上的点,∥,,,使平面⊥平面(如图).
(I)当时,求证: ;
(II)若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为,
求的最大值;
(III)当取得最大值时,求二面角的余弦值.
3、(12分)已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以
点为圆心,1为半径的圆相切,又知的一个焦点与A关于直线对称.
(1)求双曲线的方程;
A
B
C
D
P
E
(2)设直线与双曲线的左支交于,两点,另一直线经过及的中点,求直线在轴上的截距的取值范围.
4、(12分)在四棱锥中,⊥平面,,
,,,是的中点.
(Ⅰ)证明:⊥平面;
(Ⅱ)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.
5(12分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.
6. (12分)已知函数图像上点处的切线方程与直线平
行(其中),
(I)求函数的解析式; (II)求函数上的最小值;
(III)对一切恒成立,求实数的取值范围.
答案:
1
2、解(1)方法一:∵平面平面,
x
y
z
AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,
又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz.
,又为BC的中点,BC=4,
.则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),
(-2,2, 2),(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0,∴。
方法二:作DH⊥EF于H,连BH,GH,
由平面平面知:DH⊥平面EBCF,而EG平面EBCF,故EG⊥DH.
H
为平行四边形,且
,
四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,
故EG⊥平面DBH, 而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.
(2)∵AD∥面BFC,
所以=VA-BFC=
,
即时有最大值为.
(3)设平面DBF的法向量为,∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),
F(0,3,0),∴(-2,2,2), 则,
即,取,∴
,面BCF一个法向量为,
则cos<>=,
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-.
3、解(1)设双曲线C的渐近线方程为,
∵该直线与圆相切,,解得
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.
,
∴,.∴双曲线C的方程为:.
(2)由得.
∵直线与双曲线左支交于两点,因此,解得.
又AB中点为,∴直线l的方程为:.
令x=0,得.
∵,∴,∴
4、解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,,
E是CD的中点,所以
所以
而内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.
(Ⅱ)过点B作
由(Ⅰ)CD⊥平面PAE知,BG⊥
所成的角,且