1-2子空间与子空间的分解2013.doc

衿§2线性子空间与子空间的分解肈在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不仅要研究整个线性空间的结构,而且要研究它的线性子空间,一方面线性子空间本身有它的应用,另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。肇一、线性子空间的定义芄定义7设是数域上的一个线性空间,是的一非空子集。如果对于中所定义的加法和数乘运算也构成数域上的一个线性空间,则称为的一个线性子空间,简称子空间。节验证是否为的子空间,实际上只需考察对于中加法和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则在对线性运算是封闭的情况下必是满足的。蒇例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间;一个是它自身,另一个是,称为零元素空间(零子空间)。螇除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。肁例2给定,集合莀分别是和上的子空间,依次称为的零空间(核)和列空间(值域),零空间的维数称为零度袇的零空间是齐次线性方程组的全部解向量构成的维线性空间的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以,。薈的左零空间和行空间肃,。螂表示的广义逆,满足,则有薀且,幂等。所以羄例3设是的个向量,它们所有可能的线性组合所成的集合膄是的一个子空间,称为由生成的子空间。袁若记,则罿由子空间的定义可知,如果的一个子空间包含向量,那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说是的一个子空间。螄注:容易证明羂(1)。罿(2),,特别若可表示为的线性组合,则。葿定理2设是的一个维子空间,是的一个基,则这个向量必定可扩充为的基。蒅证明羃若,则定理已成立。若,则中必存在一个向量不能由线性表出,从而线性无关。如果,则定理已成立。否则继续上述步骤。经过次,则可得到内个线性无关的向量,使为的基。莁二、子空间的分解袈子空间作为子集,有子集的交(),和()等运算,对它们有如下定理。芅定理3设是线性空间的子空间,则有肄(1)与的交集是的子空间,称为与的交空间。蒀(2)与的和是的子空间,称为与的和空间。芈证明羆(1)由,,可知,,如果,即而且,因此,,,由,,(2)由定义,而且非空.,,蚆因是子空间,则,。羁定理4(维数定理)设和是线性空间的两个子空间,则有莀+=+(1)蒆证明羅设,,,基为,由定理2知,它们可分别扩充为:聿的基,袀的基,膇则螂=,莁=,。袃任取数使薀.(2)蚈因为蚇所以袅从而有袂即膈由是的基,线性无关,(2)式,得蒈而是的基,于是蚂故羀线性无关,dim,(1)式知,若,则有dim(+)<dim+dim,这时其表达式中与不是唯一的。螃例如腿,有,即。这时可有两种表达式和羇例4设中的两个子空间是蚄求及的基和维数。螅解蒁=蚀由于且线性无关,故的一个基为,其维数=3。莅由维数定理知薂=-=2+2-3=1薀根据聿,膅得到蚃,羂从而为的一个基,其维数=1。蕿三、直和子空间袆子空间的和的定义仅表明,其中的任一向量可表示为。但这种表示法不一定唯一。蚅定义8设是线性空间的两个子空间,如果中每个向量的分解式肀是唯一的,则称为的直和,记为。羈定理5设,是线性空间的两个子空间,则下面几条等价蚆(1)是直和;蒂(2)向量表示法唯一,即由得;蒃(3)=;莇(4)莆证明薄采用轮转方式证明这些命题。薁按定义,内任一向量表示法唯一,因而的表示法当然唯一。螇用反证法。若,则有,于是,。而,这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。肇利用维数定理即得。蚅由维数定理知dim()=0,即=.对任一,如果虿则有蒀于是袇,膅即袄。螂这说明莀因而表示法唯一。定理证毕。芆定理6设是的一个子空间,则必存在的子空间,使。羂证明:设dim()=,且是的一个基,根据定理2它可扩充为的基,令膁,显然就满足要求。袆子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。莇四、内积空间莅前文中,我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。与几何空间相比,向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。因此,我们在一般线性空间中定义内积,导出内积空间的概念。薀定义9设是实数域上的实线性空间。如果对于任意的,都有一个实数与之对应,且满足蚆(1);