概率论与数理统计徐雅静.doc

概率论与数理统计第一章习题参考解答1、写出下列随机试验的样本空间。(1)枚硬币连掷三次,记录正面出现的次数。(2)记录某班一次考试的平均分数(百分制记分)(3)对某工厂出厂的产品进行检验,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。(4)在单位圆内任取一点,记录它的坐标。解:(1)S={0,1,2,3},(2)S={k/n:k=0,1,2,···,100n},其中n为班级人数,(3)S={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111},其中0表示次品,1表示正品。(4)S={(x,y)x2+y2<1}2、设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件(1)A、B、C中至少有一个发生(2)A、B、C中恰好有一个发生(3)A、B、C都不发生(4)A、B、C中不多于一个发生(5)A、B、C中不多于两个发生解:(1)A∪B∪C(2)ABC∪ABC∪ABC(3)ABC错解ABC=AUBUC(4)即至少有两个不发生AB∪AC∪BC(5)即至少有一个不发生ABC=AUBUC2、指出下列命题中哪些成立,哪些不成立。(1)成立,(2)不成立,(3)不成立,(4)成立(5)成立,(6)成立(7)成立(8)成立4、把A∪B∪C表示为互不相容事件的和。解:(A−AB)∪(B−BC)∪(C−CA)∪ABC答案不唯一5、设A、B是两事件,且P(A)=,P(B)=。问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?最大值是多少?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?最小值是多少?(1)A⊂B时,P(AB)=,因为A、B一定相容,相交所以A和B重合越大时P(AB)越大(2)A∪B=S时,P(AB)=、,是否能说在10次实验中A将发生7次?为什么?答:不能。因为事件A发生的频率具有波动性,在一次试验中得出的频率并不一定正好等于事件A发生的概率。7、从一批由1100件正品,400件次品组成的产品中任取200件。(1)求恰有90件次品的概率(2)求至少有两件次品的概率。(1),(2)−8、在房间里有10个人,分别佩带从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小号码为5的概率。(2)求号码全为偶数的概率。(1)最小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个,=121(2)号码全为偶数,即从2,4,6,8,10里选三个,=1219、在0,1,2,3,…..,9共10个数字中,任取4个不同数字排成一列,求这4个数字能组成一个偶数四位数的概率。解:设事件“组成一个偶数四位数”为A任取4个不同数字排成一列共有:410A种解法一组成一个偶数四位数有281414281515::AAAAAA首位偶首位奇904110987()4187410281414281515=⋅⋅⋅⋅⋅=+∴=APAAAAAAA解法二分末位0和末位不为0两种,A+A种90()4141039281214=+∴=AA错误:认为样本空间也为四位数,、求10人中至少有两人出生于同一月份的概率。解:10人中至少有两人出生于同一月份的概率为:101012121−C10!=、从5双不同的鞋中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率。解:从5双鞋中取4只,至少配成一双的概率为:+C或41044512C−−C12、将3个球随机的放入4个杯子中,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。解:杯中最多有一个球时,概率为166433A4=;杯中最多有两个球时,=;杯中最多有三个球时,概率为16143143C3C=;13、某货运码头近能容一船卸货,而甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和小时。设甲乙两船在24小时内随时间可能到达,求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解:设X、Y分别为甲乙两船到达的时刻而甲到乙未到应满足Y−X≥1而乙到甲未到应满足X−Y≥2所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为24242323222221224241××−××−××P==、从区间(0,1)内任取两数,求这两个数的积小于1/4的概率。解:设从区间(0,1)所取两数为X、Y要使41XY〈,=−×××=πP或者ln221414141114=×+∫1dx=+xP15、随机地想半圆0<y<2ax−x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求从原点到该点的连线与x轴正向的夹角小于4π的概率。解:如图半圆区域为样本空间S对平方移项(x-a)2+y2=a2,事件“与原点连线与0x轴的夹角小于4π”为AA为如图阴影部分