26平面图形的面积.doc

-平面图形的面积1.  关于面积的两点重要知识  (1)相似三角形的面积比等于相似比的平方  例1(第2届美国数学邀请赛题)如图40-1,在△ABC的内部选取一点P,过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4,△ABC的面积.  解  设T是△ABC的面积,T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积;c是边AB的长,c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、,由四个三角形相似,得    (2)两边夹角的三角形面积,灵活运用△ABC的面积公式S=可以方便地解决一些较难的面积问题.    例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动(如图40-2),已知P由A至B,R由C至D分别需要两秒钟;Q由B至C,S由D至A分别需要1秒钟;问开始运动后,经过多少时间,四边形PQRS的面积最小?  解设P的速度是Q的速度是;R的速度是,(0<t≤1)秒时,AP=  设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S′、S.                  ①                  ②                  ③                  ④  ①+③得,  ②+④得,    当t=′有极小值.  答:经过秒后,四边形PQRS面积最小.  下面是一个用不等式来证明相等问题的例子.    例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2  那么PQRS是正方形并且O是它的中心.  证明  如图40-3,按题设有   此处无图  p2+q2+r2+s2=pqsinα+qrsinβ+rsinγ+spsinδ  ≤pq+qr+rs+sp            ①    依题设、①取等号有    由②取等号有p=q=r=s  因此PQRS是正方形,O是它的中心.      等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题.  例4(第17届苏联竞赛题)图40-::无阴影的三个四边形的面积也相等.  证明  如图:连ME、NC.  ∵S△NME=S△CEM,  ∴ME∥NC.    若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得  .  这样,则N为BE中点.  又  同理可证      例5(第9届全俄中学竞赛题)如图40-5在凸五边形ABCDE中,对角线CE分别交对角线BD、AD于F、G,BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,求△CFD和△ABE的面积比.  解 连AF.∵CF:FG:GE=2:2:3,  ∴S△CFD:S△DFG:S△DEG=2:2:3.  S△CFD=S,则S△FDG=S,S△DGF=S.  又BF:FD=5:4,∴S△BEF:S△FDE=5:4.  ∴S△BEF=(S△FDG+S△DEG)=S  又由BF:FD=5:4,∴S△ABF:S△AFD=5:4.  ∴S△ABE=SABF