高数重要知识点.doc

(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f(x)=0[],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。膁(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。蒈(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以f(x)~g(x)莈蚃2常见的等价无穷小薁当x→0时艿sinx~x,tanx~x,~x,~x膅1−cosx~,−1~x,~x,~.(夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)放缩求极限膄若,则蚄两个重要公式蝿公式1芈公式2节用无穷小重要性质和等价无穷小代换肃★用泰勒公式蒀当时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次肅蚅薂芀肆螃洛必达法则羂定理1设函数、满足下列条件:羁(1),;膈(2)与在的某一去心邻域内可导,且;膅(3)存在(或为无穷大),则莁这个定理说明:当存在时,也存在且等于;当为无穷大时,(ospital)“”型不定式,于是由洛必达法则,“”型不定式,于是由洛必达法则,,则可以继续应用洛必达法则,即肈螄二、型未定式羃定理2设函数、满足下列条件:蚈(1),;袅(2)与在的某一去心邻域内可导,且;袃(3)存在(或为无穷大),则莃注:上述关于时未定式型的洛必达法则,,连续次施行洛必达法则,:腿(1)洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则;羈(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;莄(3)洛必达法则的条件是充分的,,(如果存在)螅利用定积分定义求极限螆基本格式(如果存在)蚁函数的间断点的分类蚀函数的间断点分为两类:袇第一类间断点袄设是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点处的左、右极限都存在,则称是f(x)的第一类间断点。肀第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。莀(2)第二类间断点袈第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。羃螃闭区间上连续函数的性质膀在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。蚆定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界。莅定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。膃定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得f(ξ)=c袁推论:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得f(ξ)==f(u),u=ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f[ϕ(x)]在x处可导,且有螈对应地,由于公式不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。=ϕ(t),y=确定函数y=y(x),其中存在,且≠0,=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且f′(x)≠0蚇则肃4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)袀设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y′的方法如下:薈把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允许出现y变量)螈蒅5对数求导法则(指数类型如)莀先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y′。荿对数求导法主要用于:①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域P106例6)薆关于幂指函数y=[f(x)]g(x)常用的一种方法,y=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。薃肃6可微与可导的关系聿f(x)在处可微⇔f(x)在处可导。薇羆7求n阶导数(n≥2,正整数)蒂先求出y′,y′′,……,总结出规律性,然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式蝿莅肄,袂,芆(5),膂袈肇肆芃芁蒆螆微分中值定理与导数应用肁一罗尔定理荿设函数f(x)满足