函数周期性结论总结.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±T=2a③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明:令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数,且关于直线x=a对称,T=2a证明:f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明:因为偶函数,所以f(-x)=f(x)?因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质)设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数,且关于直线x=a对称,T=4a证明:f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明:由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得:f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得:f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数,用递推的方法来证明。f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元:令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称,T=2|a-b|证明:f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a>b(当然假设a<b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b)关于直线x=a对称=f[a+(x+a-2b)]=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x)⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称,T=2a-2b(a>b)证明:根据奇函数对称中心可知:f(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;ürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonne