圆的几何特征在解题中的应用.doc

圆的几何特征在解题中的应用
利用“圆”的代数与几何特点解题,把握圆的方程与几何特征;学会数形结合的解题思想。探讨利用圆的特性能够解决的几大类问题。不但充分地发挥了圆的几何优势,而且是题目易于求解。
数形结合圆的方程几何图形在解析几何中,圆占有很重要的地位,认真把握圆的方程与几何特征,利用圆的特征,解决某些问题,可以达到事半功倍的效果。
一、利用圆的几何图形来求最值
,y满足x+y≥0
x2 + y2≤1 ,则z=2x+y的范围是什么?
解析:由不等式组画出可行域(如图),
z=2x+y,作出直线2x+y=0,当2x+y=0
平移至l1位置时z最小由已知得
A(-22,22),∴zmin =-22
当2x+y=0平移至l2位置时z最大,
d=z22+12=1∴z=5∴zmax =5
分析:本题应注意x2+y2≤1表示圆面(包括边界)与x+y≥0结合取公共区域为一个半圆,所以在解题时一定看清是否包含“=”。
二、利用圆的半径求值
(x,y)在椭圆x225+y216=1上,F为其右焦点,FM→
=1,且PM→?FM→=0,则PM→的最小值为()
解析:FM→中点M的轨迹是以F为圆心,
1为半径的圆,当动点P为椭圆右顶点时,PF最小,又P⊥F,PM→=PF→2-12,Pmin=a-c代入Pmin=(5-3)2-12=3
分析:此题抓住了FM=1的关键点,而F为定点,M为动点。所以,由圆的定义而得出结论,解题时要深刻领悟圆的“两定”。
三、利用圆的方程特征求参数范围
-x2≥x+t的解集为空集。则实数t的取值范围是:
解析:令y=1-x2 ①,y=x+t ②,
由①得x2+y2=1(y≥0)表示半圆,
与②直线的位置关系如图所示,
由此可知,当t>2时1-x2≥x+t解集为φ。
分析:此题若利用1+x2≥(x+t)2讨论,问题就太繁琐了,所以解题时抓住了圆的方程特征,数形结合,减少了计算量。
四、利用圆与距离的关系解题
(x)是奇函数且是R上的增函数,若f(x2-2x)≤f(y2-2y)(x,y∈R),则x2+y2的最大值是( )

解析:由函数的奇偶性、单调性得:x2-2x≤y2-2y,即(x-1)2+(y-1)2≤2,表示圆心C(1,1)半径为2的圆面,而x2+y2看做圆C上的点与原点距离的平方,圆上最远处为直径。所以(x2+y2)max=OP2=(22)2=8
分析:此题要看清Z=x2+y2表示圆面(包括边界)与原点距离的平方,而