2三角形辅助线总结及口诀.doc

三角形作辅助性方法大全口诀:总则:{3}标注等线和等角,对顶角不要忘,相等边角要避开。{3}1、等腰三线合;过腰上一点做另腰平行或底平行线。等腰顶角是腰高和底夹角二倍,等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形,原顶角是新底角的二倍,新底边垂直原底边。{4}2、求角大小,需构造出有数值的角;两角做比较,连点延边构三角,大外小内找中介;相等角,等腰、对顶、平行、同余和同补;给出二倍角,构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以。{3}3、两线做比较,截长补短可求证。特殊角求三边,带平方都要用直角三角形。三角形内构四边,四边周长小于三角形周长;。{3}4、角分线,到边距离相等经常用,也可两边截等段;三角形相邻外交角角分线交点到两边距离相等,三角形内角平分线交予一点,且到三边距离相等。平行线间角分线的交点一定是中点(见后){2}5、中线,倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段;{1}6垂分线上点连线段端点有帮助;{3}7、多边变身三角形,延两边、连对角、连顶点;如图,AE\AD是角分线,AB//、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。1、三线合一例:已知,如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:DE=DF证明:连结AD.∵D为BC中点,∴BD=CD又∵AB=AC∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF例:已知,如图,△ABC中,AB=AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE=AF,求证:EF⊥BC2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线例:已知,如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于F求证:DF=EF证明:(证法一)过D作DN∥AE,交BC于N,则∠DNB=∠ACB,∠NDE=∠E,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DNB∴BD=DN又∵BD=CE∴DN=EC在△DNF和△ECF中∠1=∠2∠NDF=∠EDN=EC∴△DNF≌△ECF∴DF=EF(证法二)过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB=∠B(过程略)引入:如图是一个等边三角形木框,甲虫在边框上爬行(,端点除外),设甲虫到另外两边的距离之和为,等边三角形的高为,则与的大小关系是()A、d>hB、d<hC、d=hD、、P,将大三角形转换为两个小三角形,并利用三角形面积公式。、常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例:已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=80o,P为形内一点,若∠PBC=10o∠PCB=30o求∠:以AB为一边作等边三角形,连结CE则∠BAE=∠ABE=60oAE=AB=BE∵AB=AC∴AE=AC∠ABC=∠ACB∴∠AEC=∠ACE∵∠EAC=∠BAC-∠BAE=80o-60o=20o∴∠ACE=(180o-∠EAC)=80o∵∠ACB=(180o-∠BAC)=50o∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=80o-50o=30o∵∠PCB=30o∴∠PCB=∠BCE∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=60o∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=60o-50o=10o∵∠PBC=10o∴∠PBC=∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC=∠EBCBC=BC∠PCB=∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP=BE∵AB=BE∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA∵∠ABP=∠ABC-∠PBC=50o-10o=40o∴∠PAB=(180o-∠ABP)=70o解法二:以AC为一边作等边三角形,证法同一。解法三:以BC为一边作等边三角形△BCE,连结AE,则EB=EC=BC,∠BEC=∠EBC=60o∵EB=EC∴E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上∴EA所在的直线是BC的中垂线∴EA⊥BC∠AEB=∠BEC=30o=∠PCB由解法一知:∠ABC=50o∴∠ABE=∠EBC-∠ABC=10o=∠PBC∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB=∠PCB∴△ABE≌△PBC∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA∵∠ABP=∠ABC-∠PBC=50o-10o=40o∴∠PAB=(180o-∠ABP)=(180o-40o)=70o二、角比较1、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形外角的位置上,小角处在内角的位置上,:已知D为△ABC内任一点,求证:∠BDC>∠BAC证法(一):延长BD交