函数的单调性复习.doc

利用导数求函数的单调性
例讨论下列函数的单调性:
1.(且);
2.(且);
3..
分析:利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数,通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号,,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性.
解: .
当时,
∴函数在上是增函数.
当时,
∴函数在上是减函数.

①若,则当时,,
∴,∴函数在上是增函数;
当时,,∴函数在上是减函数
②若,则当时,,
∴函数在上是减函数;
当时,,∴函数在上是增函数
,只需讨论函数在(0,1)上的单调性
当时,

若,则,函数在(0,1)上是减函数;
若,则,函数在(0,1)上是增函数.
又函数是奇函数,,函数在(-1,1)上是减函数,当时,函数在(-1,1)上是增函数.
说明:,在每一个局部问题中,原先的“不确定因素”不再影响问题的解决,当这些局部问题都解决完时,,不仅要考虑到参数的取值范围,而且要结合函数的定义域来确定的符号,否则会产生错误判断.
分类讨论必须给予足够的重视,真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用,从而提高简化计算能力.
利用导数求函数的单调区间
例求下列函数的单调区间:
1.;
2.;
3.
分析:为了提高解题的准确性,在利用求导的方法确定函数的单调区间时,也必须先求出函数的定义域,然后再求导判断符号,以避免不该出现的失误.
解:,
令,得或.
∴函数的单调递增区间为(-1,0)和;
令,得或,
∴函数的单调递减区间为和(0,1).

令,得.
∴函数的递增区间为(0,1);
令,得,
∴函数的单调递减区间为(1,2).

令,得或.
∴函数的单调递增区间为和;
令,得且,
∴函数的单调递减区间是和.
说明:依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间,,如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间,运算显得繁琐,(或递减)区间写成并集的形式,,除函数思想方法在本题中的重要作用之外,还要注意转化的思想方法的应用.
求解析式并根据单调性确定参数
例已知,且
,求的解析式;
,试问:是否存在实数,使在内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.
分析:根据题设条件可以求出的表达式,对于探索性问题,一般先对结论做肯定存在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理论证,,由于函数是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式,确定适合条件的参数的取值范围,使问题获解.
解:,