专题复习：二次函数及其相关知识点.doc

海安高级中学丁兆稳二次函数是中学数学的重要内容,它承接了初高中衔接的重任,它彰显函数的所有特色,它是高中许多重要知识点的依托,也是解决许多问题的工具。与二次函数相关的内容有:(1)三个“二次”,即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式具有丰富的内涵和密切的联系;(2)圆锥曲线,二次函数是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具;(3)导数,二次函数是三次函数的导函数,而三次函数是导数中的一颗璀璨明珠。高考试题中近许许多多的试题与二次函数紧密相关,甚至多年作为压轴题出现在试卷中。●案例探究【例1】已知函数().(I)若的定义域和值域均是,求实数的值;(II)若在区间上是减函数,且,求实数的取值范围.(原创题,命制意图:本题以二次函数为背景,重点考查函数定义域、值域、单调性等基本性质综合运用的能力,难度中等)【思路点拨】解决(1)的关键是观察函数的对称轴与所给区间的位置关系;(2)的突破口则是对题中文字的论述的转换:对任意的,,总有等价于解:(I)∵(),∴在上是减函数,(2分)又定义域和值域均为,∴,(4分)即,解得.(6分)(II)∵在区间上是减函数,∴,(8分)又,且,∴,.(11分)∵对任意的,,总有,∴,(13分)即,解得,(14分)又,∴.(15分)【例2】已知对于x的所有实数值,二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求关于x的方程=|a-1|+2的根的取值范围.【思路点拨】轻松将所给条件简化为a的范围后,本题的实质是在所给定义域内求函数的取值范围,即求分段函数的值域问题解:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-≤a≤2(1)当-≤a<1时,原方程化为:x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a-)2+.∴a=-时,xmin=,a=时,xmax=.∴≤x≤.(2)当1≤a≤2时,x=a2+3a+2=(a+)2-∴当a=1时,xmin=6,当a=2时,xmax=12,∴6≤x≤,≤x≤12.【例3】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A、B;(2)::解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.【错解分析】:由于此题表面上重在“形”,因而本题难点就是一些考生可能走入误区,老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数”.【思路点拨】:利用方程思想巧妙转化为函数在定义域内求值域,化形为数,轻松击破。(1)证明:由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c2]∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解:设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=-,x1x2=.|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>-a-c>c,解得∈(-2,-)∵的对称轴方程是.∈(-2,-)时,为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,