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圆知识点复习
一、圆的定义
1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
圆的有关概念:
1、半径:圆上一点与圆心的连线段。
、确定一个圆的要素是圆心和半径。
连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。小于半圆周的圆弧叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫圆周角。
圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。
经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形,外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆外切三角形,三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。直角三角形内切圆半径满足:。
7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。
圆的有关性质
1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、夹在平行线间的两条弧相等。
定理在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论1(ⅰ)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(ⅱ)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(ⅲ)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90。90的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
切线的判定与性质:判定定理:经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。
定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
圆内接四边形对角互补,一个外角等于内对角;圆外切四边形对边和相等;
弦切角定理:弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。
和圆有关的比例线段:相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的两