塞瓦定理【定理内容】设是内任意一点,、、分别交对边于、、,则.[评]等价叙述:的三边、、上有点、、,则、、三线共点的充要条件是,这点称为三角形的塞瓦点。【背景简介】【证法欣赏】证法1:(利用梅涅劳斯定理证明)∵被直线所截,∴①同理,②②÷①得:.【证法欣赏】证法2:(利用面积关系证明)∵∴由等比性质得③同理:④,⑤,③×④×⑤得:.【证法欣赏】证法3:(利用平行线分线段成比例证明)过作交、延长线于、,∵,∴,⑥,⑦⑧,由⑧得:⑨⑥×⑦×⑨得:.【逆定理】塞瓦定理的逆定理也成立,即如果有三点、、分别在的三边、、上,且满足,那么、、三线交于一点。[注]利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点如证明三角形三条高线必交于一点;三角形三条中线交于一点等。【定理应用】塞瓦定理的应用定理:设平行于的边的直线与两边、的交点分别是、,和交于,则一定过边的中点.[证1](塞瓦定理)设与的交点为,由塞瓦定理得:,∵,∴∴,即,∴一定过边的中点。[证2](平行线分线段成比例)∵,∴,,,∴,即,∴一定过边的中点。【定理应用】塞瓦定理逆定理的应用定理:设的内切圆和边、、分别相切于点、、,则、、交于一点。证:由切线长定理得,,,,∴,根据塞瓦定理的逆定理,有、、交于一点。
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