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小波图像压缩方法的研究

(工程技术学院光子信息工程系电子科学与技术张晓牧)
(学号:2000301054)

内容提要:短时傅立叶变换作为傅立叶变换的一个重要发展,它能够通过外加窗口展示
局部信号,这对信号处理和图象压缩有着重要意义。以短时傅立叶变换为引导,介绍小波变
换的基本原理,及其在图像压缩中的应用。阐述小波图压像缩编码的基本原理,进行简单的
数值模拟计算,使用 MATLAB 软件进行模拟实验。
关键词:小波变换图像压缩图像编码
教师点评:本文研究小波变换用于图像压缩,从理论到实现都有难度。论文论述清晰、
分析透彻、文理通顺,较好地达到了毕业设计的目的和要求,给予优秀成绩。(点评教师:
曹建章,副教授)

1 引言
自 1882 年傅立叶发表《热传导解析理论》一文以来,傅立叶变换作为信号处理领域中
最完美、效果最好的一种分析手段得到了最广泛的应用。但是傅立叶变换只是一种纯频域的
分析方法,它在频域的定位性是完全准确的,具有最高的频域分辨率,而在时域却无任何定
位性。傅立叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征,而不能提供任何局部时
间段上的频域信息。而与此相反当一个函数用脉冲函数展开时,它在时间域的定位性是完全
准确的,而在频域却无任何定位性,就是说脉冲函数分析所反映的只是信号在全部频率上的
整体时域特征,而不能够提供任何频率段所对应的时间信息。对于时变信号进行分析,通常
需要提取某一时段的频域信息或某一频段所对应的时间信息,此时傅立叶变化就不再适用
了。傅立叶变换在压缩和分析包含瞬态或局部化成分的信号与图像时得不到最佳表示。
1946 年 Gabor 提出了加窗傅立叶变换,其基本思想为:取时间函数作为窗口函数,用
g( t -τ)与分析函数 f(t)相乘,然后再作傅立叶变换。
−−2
gt()= π 1/4 et /2 (1)
在 Gabor 变换的基础上为了适应不同具体问题的需要,人们还构造了多种形式的窗口
函数。这一类的加窗傅立叶变换统称为短时傅立叶变换(Short Time Fourier Transform,简称
STFT)。STFT 变换虽然可以描述任一局部时间段上的频率信息,但是由于其时频窗口 Vt
与 Vw 不随频率ω和τ的变化而变化,则对于一个时变的非稳态信号就很难找到一个“好的”
φ
时间窗口来同时适合不同的时间段,人们用一组连续变化的伸缩平移基 a,τ()t 来代替 STFT
′=−τ− jwt
中的窗口函数 gtgteωτ, () ( ) ,使它的时频域窗口均随频率的变化而变化,以实现对
低频分量采用大时窗,对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。这种基函数在频
率和位置上同时变化着的具有有限宽度的波被称为小波,基于它们的变换被称为小波变换。
2 小波变换的基本原理
小波即为小区域的波,它的宽度为有限值。小波函数的确切定义为:设φ()t 为一平方
可积函数,也即φ()tLR∈ 2 ( ),若其傅立叶变换ψ()ω满足条件:
ψω()2
d ω<∞(5)
∫ω
R
1
则称φ()t 为一个基本小波或小波母函数。式(5)称为小波的可容许性条件。
1) 连续小波变换