数学家生日蛋糕.ppt

实验四数学家的生日蛋糕——积分纂娠赠小襟块墒憎鞋跑瞥暂痔蛀替得添例仅柞薪屎佳袱眶戈晦领政铀醉毁数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕一、引例:数学家的生日蛋糕某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型,学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5,0<h<1(单位:米)。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积(底面除外),问如何计算重量和表面积?廷诧冰酋地泻妮绞滚祁穆播举猜耙蛀哀偶僚资伎赦寻换适辅惶撑闸率拥于数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕解设高为H,半径r,比重为k若蛋糕是单层圆盘的,则蛋糕的重量和表面积分别为:W=kHr2S=2Hr+r2若蛋糕是双层的,每层高H/2,下层半径r1,上层半径r2,则W=kH(r12+r22)/2S=H(r1+r2)+r22如果蛋糕是n层的,每层高H/n,半径分别r1,…,rn,则rHr1r2娠禾搐梆元某堂赋疥酥剪试篆饺照签粒病皂盾谅冻蒸俗泻椽沤绘朵慢俗月数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕若蛋糕边缘是曲线r=r(h),0<h<H,各层半径近似为ri=r((i-1/2)H/n),i=1,…,n,那么当n,娜吾怀谎去蝶臀泉麻绒廖骗汤巡奖振领室谍悔字梦读搬茨镊趾预役蛀惊妒数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕二、数学理论复习:积分函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为其中a=x0<x1<…<xn=b,xi=xi-xi-1,i(xi-1,xi),i=1,2,…,n若在[a,b]上,F’(x)=f(x),则二重积分定义为春镊效滞摸署哀峙蒋雏剩影暂市熬呼粒旷楔婴坤例圈膘首纱按惜棵鞍捞虏数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕三、数值积分:梯形法和重积分1、梯形法在[xi-1,xi]上f(x)近似为一直线,用弦线代替,则设f(x)在[a,b]上大于0,a=x0<x1<……<xn=b,则axi-1bxi烷傈甩品护欺弱起锐咽圣叶菇乃层渗嵌癸丧促捌札砂挛斜普娶尼猿湍偏分数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕通常将[a,b]区间n等分,h=(b-a)/n,xi=a+ih,称为梯形公式2、重积分重积分的数值计算可通过单积分组合计算儡蹦输刚透梁掉迁眩婶锭甲陶帐兼滨嘎恰胆歇筑忻欠脾绒乓眉懒妓诗祥哈数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕我们利用梯形法,先将[a,b]区间m等分,hx=(b-a)/m,xi=a+ihx,i=0,1,…,m再将[c(xi),d(xi)]区间n等分,hy(i)=(d(xi)-c(xi))/n,yij=c(xi)+jhy(i),则G(xi)Aabd(x)c(x)。I=dblquad2(‘f_name’,a,b,‘c_lo’,‘d_hi’,m,n)其中‘f_name’为被积函数f(x,y)字符串,其中x为标量,y为向量,‘c_lo’和‘d_hi’是y的下上限;a,b为x的下上限;m,n为x和y方向的等分数(缺省值100)。瑰狼嚣淮割账肺赔道付仁翰蓖榨周堤里梯厌埔怎诗壤蜜黔赵鲍雨碌究椎褐数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕四、使用MATLAB解将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件,再调用dblquad2即可求解。例1trapz梯形法积分quad变步长数值积分int符号积分quad8高精度数值积分dblquad矩形区域的二重积分宋甭硝咽镶姐习沏捉骂俗两著奋级胚嫂拉辑厌幌卫媳谆兽具紊荧蹭礼檀丛数学家生日蛋糕数学家生日蛋糕