抽象函数奇偶性对称性周期性总结.docx

抽象函数奇偶性对称性周期性总结.docx抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一•概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由丁•抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力K周期函数的定义:对于/(兀)定义域内的每一个x,都存在非零常数7\使得/(x+T)=/(x)恒成立,则称函数/(无)具有周期性,T叫做/(x)的一个周期,贝MT(£wZ,EhO)也是/(兀)的周期,所有周期屮的最小正数叫/(%)的最小正周期。分段函数的周期:设y=/(x)是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:y=/(%),x^[a,b\T=b-ao把歹=/(x)沿兀轴平移KT=K(b-a)个单位即按向量0=(阳0)平移,即筍=/(兀)在其他周期的图像:y=f\x-kT),xg[kT。/(兀)=<f(x-kT)xg[a,b]xe[kT+a,kT+b]2、 奇偶函数:设V=/(x),xg[a,/?]或xg[-b-a\U[a,b]若f(~x)=-/(兀),贝ij称y=/O)为奇函数;若/(-兀)=/(x)则称y=/(兀)为偶函数。分段函数的奇偶性3、 函数的对称性:(1)中心对称即点对称:点A(x,y)与B(2a-x,2b-y)关于点(a,b)对称;点A(a-x,b-刃与+兀,b+y)关于(a,/?)对称;函数y=/(无)与2/?-y=f(2a-x)关于点(a,b)成屮心对称;函数/?_y=f(a-x)^b+y=/'(a+尢)关于点(a,b)成中心对称;函数F(x,y)=0与F(2a-x,2Z?-y)=0关于点(q,Z?)成中心对称。(2)轴对称:对称轴方程为:Ax+By+C=O。zrx七“ / /、D72A(Ar+By+C)2B(Ax+S)+C)①点A(x,y)与=兀——―話―,y———总一)关于直线ZU+By+C=0成轴对称;函数严用)与y_2/:+?+C)=念_2A(囂+?+C))关于直线A H+歹Ax+3y+C=0成丰由对称。",y)=0与弘-2人今+D+C),『_2B(律+By+C))=。关于直线Av+By+C=O成轴对称-二、函数对称性的几个重要结论函数=/(X)图象本身的对称性(自身对称)若f(x+a)=±f(x+b),则f(x)具有周期性;若f(a+x)=±f(b-x),则f(x)具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、 j\a+x)=f(h-x)oy=/(无)图象关于直线“S+Q+(U二凹对称22推论1:f(a4-x)=f{a-x)<=>y=f{x)的图象关于直线x=a对称推论2、/(%)=f(2a-x)u>y=/(兀)的图象关于直线x-a对称推论3、f(-x)=f(2a+x)oy=/(x)的图象关于直线x=a对称2、 f(a+x)4-f(b-x)=2c<=>y=/(兀)的图象关于点(";",c)对称推论1、f(a+x)+f(a-x)=2hoy=/(兀)的图象关于点(Q,b)对称推论2、f(x)4-f(2a-x)=2b<=>y=f(x)的图象关于点(&,方)对称推论3、/(-x)+f(2a+x)=2Z?oy=/